如何使用python拟合多条指数曲线

Question

对于单个指数曲线，例如此处的图像中显示的curve_fit 作为单个指数曲线，我能够使用 scipy.optimize.curve_fit 拟合数据。 但是，我不确定如何实现对由多条指数曲线组成的类似数据集的拟合，如下所示双指数曲线。 我使用以下方法实现了对单曲线的拟合：

def exp_decay(x,a,r):
    return a * ((1-r)**x) 

x = np.linspace(0,50,50)
y = exp_decay(x, 400, 0.06)

y1 = exp_decay(x, 550, 0.06)      # this is to be used to append to y to generate two curves

pars, cov = curve_fit(exp_decay, x, y, p0=[0,0])
plt.scatter(x,y)
plt.plot(x, exp_decay(x, *pars), 'r-')     #this realizes the fit for a single curve

yx = np.append(y,y1)   #this realizes two exponential curves (as shown above - double exponential curves) for which I don't need to fit a model to

有人可以帮助描述如何为两条曲线的数据集实现这一目标。 我的实际数据集由多条指数曲线组成，但我认为如果我可以实现两条曲线的拟合，我可能能够为我的数据集复制相同的曲线。 这不能用 scipy 的 curve_fit 来完成； 任何有效的实现都很好。

请帮忙 ！！！

Answer 1

通过使用简单的标准（例如一阶导数估计）拆分数据集，可以轻松解决您的问题，然后我们可以将简单的曲线拟合程序应用于每个子数据集。

试验数据集

首先，让我们导入一些包并创建一个包含三个曲线的合成数据集来表示您的问题。

我们使用双参数指数模型，因为时间原点偏移将由拆分方法处理。 我们还添加了噪音，因为现实世界的数据总是存在噪音：

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import optimize
import matplotlib.pyplot as plt

def func(x, a, b):
    return a*np.exp(b*x)

N = 1001
n1 = N//3
n2 = 2*n1

t = np.linspace(0, 10, N)

x0 = func(t[:n1], 1, -0.2)
x1 = func(t[n1:n2]-t[n1], 5, -0.4)
x2 = func(t[n2:]-t[n2], 2, -1.2)

x = np.hstack([x0, x1, x2])
xr = x + 0.025*np.random.randn(x.size)

它在图形上呈现如下：

数据集拆分

我们可以使用简单的标准将数据集拆分为三个子数据集，作为使用一阶差分对其进行评估的一阶导数估计。 目标是检测曲线何时急剧上升或下降（应分割数据集的位置。一阶导数估计如下）：

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

该标准需要一个额外的参数（阈值），必须根据您的信号规格进行相应调整。 该标准相当于：

xcrit = 20
q = np.where(dxrdt > xcrit) # (array([332, 665], dtype=int64),)

和拆分索引是：

idx = [0] + list(q[0]+1) + [t.size] # [0, 333, 666, 1001]

主要是标准阈值会受到数据噪声的性质和功率以及两条曲线之间的差距幅度的影响。 这种方法的使用取决于在存在噪声的情况下检测曲线间隙的能力。 当噪声功率与我们要检测的间隙大小相同时，它将中断。 如果噪声严重拖尾（很少有强异常值），您还可以观察到错误的分割指数。

在此 MCVE 中，我们将阈值设置为20 [Signal Units/Time Units] ：

这种手工制作的标准的替代方法是鉴定委托给优良find_peaks的方法scipy 。 但它不会避免将检测调整到您的信号规格的要求。

拟合原点偏移数据集

现在我们可以在每个子数据集上应用曲线拟合（原点偏移时间），收集参数和统计数据并绘制结果：

trials = []
fig, axe = plt.subplots()
for k, (i, j) in enumerate(zip(idx[:-1], idx[1:])):
    p, s = optimize.curve_fit(func, t[i:j]-t[i], xr[i:j])
    axe.plot(t[i:j], xr[i:j], '.', label="Data #{}".format(k+1))
    axe.plot(t[i:j], func(t[i:j]-t[i], *p), label="Data Fit #{}".format(k+1))
    trials.append({"n0": i, "n1": j, "t0": t[i], "a": p[0], "b": p[1],
                   "s_a": s[0,0], "s_b": s[1,1], "s_ab": s[0,1]})
axe.set_title("Curve Fits")
axe.set_xlabel("Time, $t$")
axe.set_ylabel("Signal Estimate, $\hat{g}(t)$")
axe.legend()
axe.grid()
df = pd.DataFrame(trials)

它返回以下拟合结果：

    n0    n1    t0         a         b       s_a           s_b      s_ab
0    0   333  0.00  0.998032 -0.199102  0.000011  4.199937e-06 -0.000005
1  333   666  3.33  5.001710 -0.399537  0.000013  3.072542e-07 -0.000002
2  666  1001  6.66  2.002495 -1.203943  0.000030  2.256274e-05 -0.000018

这符合我们的原始参数（参见试验数据集部分）。

我们可以通过图形检查拟合优度：