矩阵求幂变得太慢

Question

我目前正在尝试计算矩阵求幂，为此我使用了众所周知的平方求幂算法。

def mat_mul(a, b):
    n = len(a)
    c = []
    for i in range(n):
        c.append([0]*n)
        for j in range(n):
            for k in range(n) :                    
                c[i][j] += (a[i][k]*b[k][j])
    return c

def mat_pow(a, n):
    if n<=0:
        return None
    if n==1:
        return a
    if n==2:
        return mat_mul(a, a)
    t1 = mat_pow(a, n//2)
    if n%2 == 0:
        return mat_mul(t1, t1)
    return mat_mul(t1, mat_mul(a, t1))

问题是我的算法还是太慢了，经过一番研究，我发现是因为与我的想法相反，矩阵乘法的时间取决于矩阵大小和矩阵中的数字。

事实上，我的矩阵中的数字变得非常大，所以一段时间后，乘法变得更慢。 通常，我有 M，一个用随机 1 和 0 填充的 13*13 矩阵，我想计算 M ^{(10 8 )} 。 矩阵中的整数可以有数百位。 我想知道是否有办法避免这个问题。

我已经看到我可以使用矩阵对角化，但问题是我不能使用外部库（如 numpy）。 所以对角化算法似乎有点太复杂了。

Answer 1

矩阵乘法的时间取决于矩阵大小和矩阵中的数字。

嗯，当然，您正在乘以任意大小的整数。 CPU 不支持这些乘法，因此它会非常慢，并且随着整数的增长而变慢。

矩阵中的整数可以有数百位。 我想知道是否有办法避免这个问题。

有几种方式：

• 避免使用整数，使用浮点数并根据项目需要处理错误。 这将大大提高速度，最重要的是它不再依赖于数字的大小。 内存使用量也会大大减少。

• 使用更好的算法。 您已经提出了这个建议，但如果更好的算法为您提供更好的界限，这是提高性能的最佳方法之一。

• 用低级系统语言对其进行优化。 这可以让您恢复一些性能，大约一个数量级左右。 Python 是高性能计算的一个非常糟糕的选择，除非您使用像 numpy 这样的专门库来为您完成工作。

理想情况下，如果您确实需要性能，则应该执行所有3 项操作。