如果 L 和 L 补码是递归可枚举的，那么为什么 L 不能是正则语言？

Question

GATE 2008 论文中提出了以下问题：

如果 L 和 L' （L 补码）是递归可枚举的，那么 L 是 ?

a) 常规
b) 节能灯
c) 中超
d) 递归

正确的选项是选项 (d)，我承认这是真的。 但我的问题是为什么它不能是常规的或 CSL ？

因为我认为如果我们认为L是正则的，那么L'也是正则的（因为正则语言在互补下是封闭的） 。 现在因为L'是规则的，所以根据'乔姆斯基层次' L'也是递归可枚举的。 即使L在常规之后，它也符合问题陈述，那么为什么选项 (a) 不是正确选项？ CSL 也是如此，那么为什么选项 (c) 也不是正确的选项？

Answer 1

语言类的快速回顾——我们知道这 5 个语言类都是彼此的（严格）子集：

常规 ⊂ CFL ⊂ CSL ⊂ 递归 ⊂ 递归可枚举

问题是，如果我们知道一种语言 L 是递归可枚举的，并且我们知道它的补语 L' 也是递归可枚举的，那么我们可以确定 L 属于哪个较小的类？

答案等同于说，如果语言 L 是可递归枚举的并且不是递归的，那么 L' 是不可递归枚举的。 该陈述是正确的，但任何其他语言类的等效陈述都不是。

Answer 2

如果 L 和 L' 都是递归可枚举的，那么

a) L 可能是正则的（实际上，如果 L 是正则的，那么 L' 也是正则的，并且所有正则语言都是可递归枚举的）……但是有些非正则语言的补语是可递归枚举的

b) L 可能是 CFL（有些 CFL 的补码也是 CFL，也有 CFL 的补码不是 CFL）...

c) L 可能是一个 CSL（有些 CSL 的补语是 CSL）……但是有些非上下文敏感的语言的补语是递归可枚举的

d) L 必须是递归的，因为由于 L 和 L' 都是递归可枚举的，我们有一个有效的可计算过程来确定任何给定的字符串是否在 L 中：开始枚举每种语言中的字符串，交错枚举（所以你在 L 中给出下一个字符串，然后在 L' 中给出下一个字符串，然后返回到 L，等等）。 继续这个过程最终将在 L 或 L' 中找到目标字符串，此时您可以返回 true（如果它在 L 中枚举）或 false（如果在 L' 中枚举）。

因此，虽然 L可能是常规的、CFL 或 CSL 是真的，但它可能不是其中任何一个也是真的； 但它必须绝对是递归的。 因此，这是“最佳”答案，也是唯一在所有情况下都普遍正确的答案。