Libc hypot function 似乎为双精度类型返回不正确的结果...为什么？

Question

#include <tgmath.h>
#include <iostream>
int main(int argc, char** argv) {

        #define NUM1 -0.031679909079365576
        #define NUM2 -0.11491794452567111

        std::cout << "double precision :"<< std::endl;
        typedef std::numeric_limits< double > dbl;
        std::cout.precision(dbl::max_digits10);
        std::cout << std::hypot((double)NUM1, (double)NUM2);
        std::cout << " VS sqrt :" << sqrt((double )NUM1*(double )NUM1 
                                  + (double )NUM2*(double )NUM2) << std::endl;

        std::cout << "long double precision :"<< std::endl;
        typedef std::numeric_limits<long double > ldbl;
        std::cout.precision(ldbl::max_digits10);
        std::cout << std::hypot((long double)NUM1, (long double)NUM2);
        std::cout << " VS sqrt :" << sqrt((long double )NUM1*(long double )NUM1 + (long double )NUM2*(long double )NUM2);
}

在 Linux（Ubuntu 18.04 clang 或 gcc，无论优化如何，glic 2.25）下返回：

双精度：0.1192046585217293 VS sqrt：0.1192046585217293 2

长双精度：0.119204658521729311251 VS sqrt：0.119204658521729311251

根据cppreference：

实现通常保证精度小于 1 ulp （最后一位的单位）：GNU、BSD、Open64 std::hypot(x, y) 等同于 std::abs(std::complex(x,y)) POSIX指定仅当 arguments 都低于正常且正确结果也低于正常时才可能发生下溢（这禁止天真的实现）

所以，hypot((double)NUM1, (double)NUM2) 应该返回 0.11920465852172932，我想（作为天真的 sqrt 实现）。 在windows上，使用MSVC 64位，是这样的。

为什么我们使用 glibc 会看到这种差异？ 如何解决这种不一致？

Answer 1

• 0.1192046585217293 2由0x1.e84324de1b576p-4表示（作为双精度）
• 0.1192046585217293 0由0x1.e84324de1b575p-4表示（作为双精度）
• 0.1192046585217293 1 1251 是 long-double 结果，我们可以假设它在小数点后几位是正确的。 即确切的结果更接近四舍五入的结果。

这些 FP 位模式仅在尾数的低位（也称为有效数）不同，确切的结果在它们之间。 因此它们每个都有小于 1 ulp 的舍入误差，实现了典型实现（包括 glibc）的目标。

与 IEEE-754“基本”操作（add/sub/mul/div/sqrt）不同， hypot不需要“正确舍入”。 这意味着 <= 0.5 ulp 的误差。 对于硬件不直接提供的操作，实现这一点会慢得多。 （例如，使用至少几个额外的绝对正确的位进行扩展精度计算，这样你就可以四舍五入到最接近的双精度，就像硬件对基本操作所做的那样）

碰巧在这种情况下，天真的计算方法产生了正确舍入的结果，而 glibc 的std::hypot的“安全”实现（在添加前对小数字进行平方时必须避免下溢）产生了 >0.5 但 <1 的结果错误的 ulp。

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您没有指定是否在 32 位模式下使用 MSVC。

大概 32 位模式将使用 x87 进行 FP 数学运算，从而提供额外的临时精度。 尽管某些 MSVC 版本的 CRT 代码将 x87 FPU 的内部精度设置为在每次操作后四舍五入为 53 位尾数，因此它的行为类似于使用实际double的 SSE2，除了具有更宽的指数范围。 请参阅Bruce Dawson 的博客文章。

所以我不知道除了运气之外是否还有其他原因让 MSVC 的std::hypot得到了正确的舍入结果。

请注意，MSVC 中的long double与 64 位double的类型相同； C++ 实现不会公开 x86 / x86-64 的 80 位硬件扩展精度类型。 （64 位尾数）。