多个请求的有向无环图中的有效根查找

Question

我正在努力寻找时间复杂度为 o(m log n) + O(n) 的这个问题的解决方案。

假设你有 n 个节点和 m 个请求的有向无环图，每个节点最多有一个父节点。 在时间 = 0 时，图形为空。 请求有两种类型：添加边 (u, v) 或查找具有顶点 u 的子图的根。 只有在不破坏图的任何属性的情况下才应该添加边（它应该保持非循环并且每个节点应该仍然最多有一个传入边）。

我可以想到多种解决方案，但它们都没有所需的复杂性。 在这里，我描述了我的最佳解决方案（复杂性）。 创建向量根（roots[ u ] 是具有顶点 u 的子图的根）和向量子图的向量（children[ u ] 是顶点 u 的后代）。 添加边缘 (u, v) 后，我按以下方式更新向量：

for child in children[v]:
    root[child] = u
    children[u].append(child)
children[v] = []

这样，检查添加边是否会破坏属性或返回根需要 O(1) 时间。 然而，更新过程的总复杂度为 O(n^2)（在这样的图中最多可以有 n - 1 条边，并且对于每个 u，children[ u ] 的大小最多为 n - 1）。 总复杂度为 O(m + n^2)。

您能否就如何解决它提出任何想法？ 我假设必须有一个 O(m log^2 n + n) 解决方案。

Answer 1

这可以通过带有路径压缩的联合查找来完成，但没有按等级联合，因为能够控制哪个节点仍然是其组件的根很重要。 时间复杂度如所愿，O(m log n + n)。