在 python 中通过其泰勒级数实现 cos(x)

Question

我必须使用其泰勒级数在 python 中实现余弦 function。 我必须从下面打印它的值以及 listt 中所有值的绝对和相对误差。 这是我尝试过的：

import math

def expression(x, k):
   return (-1)**k/(math.factorial(2*k))*(x**(2*k))
pi=math.pi
listt=[0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2, (2*pi)/3, (3*pi)/4, (5*pi)/6, pi]
sum=0
for x in listt:
   k=0
   relative_error=1
   while relative_error>10**(-15):
       sum+=expression(x, k)
       absolute_error=abs(math.cos(x)-sum)
       relative_error=absolute_error/abs(math.cos(x))
       k+=1
    print("%.20f"%x, '\t', "%.20f"%sum, '\t', "%.20f"%math.cos(x), '\t', "%.20f"%absolute_error, '\t', "%.20f"%relative_error )

然而，这会产生一个巨大的错误。 原因可能是我执行了所有这些减法。 但是，我不知道如何避免它们。 我在为负 x 计算 e^x 时遇到了同样的问题，但是如果 x 为负，我只计算 e^(-x)，然后我可以写出 e^x=1/e^(-x)。 这里有类似的技巧吗？
另外，请注意我的 while 是无限的，因为相对误差总是很大。

Answer 1

致命错误：您在测试点的循环之外设置了sum=0 。 您需要为每个测试点重置它。 如果您将近似余弦计算作为单独的 function 进行，则可以轻松避免此错误。

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通过乘以前一项的商来计算级数的项总是一个更好的主意。 这避免了阶乘的计算及其增长可能产生的所有困难。

也就是说，项的增长与指数级数的增长相同，因此最大项是2*k约为|x| . 对于不应过大的给定点。

更准确地说，余弦部分和的误差小于下一项，因为级数是交替的。 |x|<=4的2*k度项具有近似界，使用斯特林的阶乘公式，

4^(4*k)/(4*k/e)^(4*k) = (e/k)^(4*k) < (3/k)^(4*k)

对于k=6 ，其上限为2^(-24) ~ 10^(-7) 。 因此，测试值不应该有灾难性的错误。

另请参阅使用 C 计算正弦的麦克劳林级数， 程序问题以近似正弦和余弦值， 泰勒级数的正弦计算不起作用