如何在 Coq 中证明 (~Q -> ~P) - > (P -> Q)

Question

我试图在 coq 中证明 (~Q -> ~P) - > (P -> Q)，这是对立定理 (P-> Q) (~Q -> ~P) 的逆。 目前我正在考虑使用相同的逻辑来证明对立定理，如下所示：

展开不。 介绍 P Q. 介绍 AB C。 应用 B. 应用 A. 应用 C。

但是我一开始就卡住了。 也许我需要额外的公理来证明对立定理的反面。 谁能帮我？

Answer 1

Require Import Classical.

Lemma myproof :  forall (P Q : Prop), (~Q -> ~P) -> (P -> Q) . 
unfold not. intros P Q. intros A B.
destruct (classic Q) as [Q_holds|NQ_holds].
apply Q_holds.
apply False_ind.
apply A.
apply NQ_holds.
apply B.
Qed.

Answer 2

是的，你需要一些额外的力量（经典逻辑）来做到这一点。 放

Require Import Classical.

在文件的开头。 现在当你有一个命题Q

destruct (classic Q) as [Q_holds|NQ_holds].

它创建了两个子目标：一个当Q成立时，一个当~Q成立时。

连同定理False_ind （让你证明任何东西False ）应该足以得出你的证明。