如何在 Coq 中證明 (~Q -> ~P) - > (P -> Q)

Question

我試圖在 coq 中證明 (~Q -> ~P) - > (P -> Q)，這是對立定理 (P-> Q) (~Q -> ~P) 的逆。 目前我正在考慮使用相同的邏輯來證明對立定理，如下所示：

展開不。 介紹 P Q. 介紹 AB C。 應用 B. 應用 A. 應用 C。

但是我一開始就卡住了。 也許我需要額外的公理來證明對立定理的反面。 誰能幫我？

Answer 1

Require Import Classical.

Lemma myproof :  forall (P Q : Prop), (~Q -> ~P) -> (P -> Q) . 
unfold not. intros P Q. intros A B.
destruct (classic Q) as [Q_holds|NQ_holds].
apply Q_holds.
apply False_ind.
apply A.
apply NQ_holds.
apply B.
Qed.

Answer 2

是的，你需要一些額外的力量（經典邏輯）來做到這一點。 放

Require Import Classical.

在文件的開頭。 現在當你有一個命題Q

destruct (classic Q) as [Q_holds|NQ_holds].

它創建了兩個子目標：一個當Q成立時，一個當~Q成立時。

連同定理False_ind （讓你證明任何東西False ）應該足以得出你的證明。