為什么 Q → P 是 ¬(P → Q ) 的邏輯結果

Question

我不想問我的教授這件事，因為我在這方面很糟糕，至少可以說他不是那種，呃，耐心類型的教授。

無論如何，我的理解是¬(P → Q )和(¬P → ¬Q )意味着兩個不同的東西。 並且Q → P等於(¬P → ¬Q ) 。

然而，一個問題的答案之一說Q → P是¬(P → Q )的邏輯結果，我根本不明白。

為了進一步混淆問題，afaik ¬(p → q) ⟺ p ∧ ¬q是正確的，所以我想我只是在邏輯結果的定義中迷路了並且遺漏了一些東西？

任何幫助將非常感激。

Answer 1

這已通過此處的評論以及此處另一篇文章中的回復解決： https://math.stackexchange.com/questions/4353623/why-is-q-%E2%86%92-pa-logical -%C2%ACp-%E2%86%92-q 的后果？

Answer 2

也許更多的背景知識——通過邏輯結果，我們通常指的是蘊涵運算符的語義概念：如果 B 在其中 A 為真的所有模型中為真，則蘊涵 A ⊨ B 成立。 在經典邏輯中，這相當於說 ⊨ A → B 為真（即公式 A → B 在所有模型中都為真）。

讓我們看看有問題的具體后果：

¬(P → Q) ⊨ Q → P

我們只考慮使 ¬(P → Q ) 為真的解釋。 只有當 Q 為假且 P 為真時才會出現這種情況（使 Q → P 為假且其否定為真）。 但是如果 Q 是假的，那么 Q → P 是真的，因為從一個假的前提出發，一切都隨之而來。

讓我們看看這兩個公式是否等價，即 P → Q ⊨ ¬(P → Q)：

讓我們首先 go 使用蘊含的定義並使用德摩根規則得到：

P → Q ⊨ ¬¬P ∧ ¬Q

我們還可以刪除我們最終得到的雙重否定：

P → Q ⊨ P ∧ ¬Q

現在 P → Q 有三種解釋使其為真（P 為假 + Q 的任何值且 P 和 Q 都為真），但沒有一種解釋使 P 為真和 Q 為假（即 P ∧ ¬Q 的 model）。 因此公式不等價。