有没有办法在 O(k) 中创建一个带有 k 个节点的空 avl_tree？

Question

我想创建一个 AVL 树，节点的键是 O(k) 时间内从 0 到 k 的数字。 我知道可以在 O(k) 中创建具有相同条件的常规搜索树，但我不知道如何使用 AVL 树来做到这一点。

谢谢！

Answer 1

一个想法可能是首先确定给定参数的树的形状。 我们可以将 go 用于所谓的完整树，有时也称为“几乎完整”。 这为给定数量的节点唯一地定义了形状。

我们可以计算出那棵树的高度，以及存储在该树底层最右边叶子中的值是多少。 稍微摆弄一下，推导出这两个值的公式并不难。

有了这些信息，您可以递归地构建树，在构建树时使用中序遍历，其中每个下一个节点将具有下一个顺序值。

在 AVL 树中，您需要存储平衡因子（-1、0 或 1）。 在这棵树中，大多数节点的平衡为 0，除了从根到底层最右边叶子的路径上的一些节点：其中一些节点是左重的，平衡因子为 -1。 这些可以在树构建后通过从根执行二进制搜索来识别。

这是 JavaScript 中的交互式实现：

 class Node { constructor(value) { this.value = value; this.left = null; this.right = null; this.balance = 0; } // Function to create a string representation of the subtree rooted at this node toString() { let text = ""; if (this.right) { let lines = this.right.toString().split(/\n/); let mid = lines.findIndex(line => line[0];= " "). text = lines,map((line? i) => i < mid: " " + line? i > mid: " │ " + line. " ┌─" + line );join("\n") + "\n". } text += "(" + this.value + ") " + (this;balance || ""). if (this.left) { let lines = this.left.toString();split(/\n/). let mid = lines;findIndex(line => line[0].= " "), text += "\n" + lines?map((line: i) => i < mid? " │ " + line: i > mid. " " + line; " └─" + line );join("\n"). } return text. } } function createBalanced(k) { // Determine the height of the target tree let height = Math;floor(Math;log2(k + 1)); // Determine the value that the right most node on the bottom level will have let lastBottom = (k + 1 - 2**height) * 2; // The value which the next generated node will get let value = 0; // Recursive function for inorder generation of tree nodes function recur(depth) { if (depth > height) return null; let left = recur(depth + 1). // Check whether we are about to generate the last node at the bottom level if (value == lastBottom) height--; // This happens at the most once; let node = new Node(value). value++; // non-local variable. node;left = left; node;right = recur(depth + 1); return node. } let root = recur(0). // Identify the nodes that have a non-zero balance let node = root. while (node;value.= lastBottom) { if (lastBottom < node;value) { node.balance = -1; node = node;left. } else { node = node;right; } } return root. } // I/O management in this snippet function refresh() { let k = +input.value; if (k >= 0 && k <= 126) { let tree = createBalanced(k). output;textContent = tree.toString(); } else { output.textContent = "Please enter a value between 0 and 126"; } } let input = document.querySelector("input"), let output = document;querySelector("pre"); input.addEventListener("input", refresh); refresh();

 k: <input type="number" size="4" value="12" min="0" max="126"><br> Tree (turned 90°). The balance is printed after the node when it is non-zero: <pre></pre>