求解多个非线性方程（带幂函数）

Question

我想解决这种方程：

a*85**b+c=100
a*90**b+c=66
a*92**b+c=33

我试过这个

import scipy.optimize

def fun(variables) :
    (a,b,c)= variables
    eq0=a*85**b+c-100
    eq1=a*90**b+c-66
    eq2=a*92**b+c-33
    return [eq0,eq1,eq2]
result = scipy.optimize.fsolve(fun, (1, -1, 0)) 
print(result)

但我得到ValueError: Integers to negative integer powers are not allowed.

然后我尝试了等效的

    def fun(variables) :
    (a,b,c)= variables
    eq0=log(a)+b*log(85)-log(100-c)
    eq1=log(a)+b*log(90)-log(66-c)
    eq2=log(a)+b*log(92)-log(33-c)
    return [eq0,eq1,eq2]
result = scipy.optimize.fsolve(fun, (1, -1, 0)) 
print(result)

我得到了一个解决方案，但它等于初始值(1, -1, 0)因此，当我测试fun(result)时，我得到的值不同于零。

我注意到对于此示例，观察到相同的问题

import scipy.optimize
def fun(variables) :
    (x,y)= variables
    eqn_1 = x**2+y-4
    eqn_2 = x+y**2+3
    return [eqn_1,eqn_2]
result = scipy.optimize.fsolve(fun, (0.1, 1)) 
print(result)

fun(result)

有谁会知道我该怎么做？ 谢谢

PS 我上周在这里发布了关于 sympy 的多个方程的分辨率（带指数）

Answer 1

当初始条件不清楚时，有时最好先尝试其他方法。 对于小问题，单纯形最小化很有用：

import numpy as np
def func(x):
    a,b,c= x
    eq0=np.log(a)+b*np.log(85)-np.log(100-c)
    eq1=np.log(a)+b*np.log(90)-np.log(66-c)
    eq2=np.log(a)+b*np.log(92)-np.log(33-c)
    return eq0**2+ eq1**2 + eq2**2

def func_vec(x):
    a,b,c= x
    eq0=np.log(a)+b*np.log(85)-np.log(100-c)
    eq1=np.log(a)+b*np.log(90)-np.log(66-c)
    eq2=np.log(a)+b*np.log(92)-np.log(33-c)
    return eq0, eq1, eq2

from scipy.optimize import fsolve, minimize
out = minimize(func, [1,1,0], method="Nelder-Mead", options={"maxfev":100000})
print("roots:", out.x)
print("value at roots:", func_vec(out.x))

# roots: [ 7.87002460e+11 -1.07401055e-09 -7.87002456e+11]
# value at roots: (6.0964566728216596e-12, -1.2086331935279304e-11, 6.235012506294879e-12)

请注意，我还尝试将 [1,1,1] 作为初始条件，发现它收敛到错误的解决方案。 进一步将 maxfev 从 1e5 增加到 1e7 允许 [1,1,1] 收敛到正确的解决方案，但也许有更好的方法来解决这个问题。