写一个 function，给定自然数 n，m，确定最小的自然数 k 使得 n^k >= m，时间为 O(log k)

Question

我只能在 O(k) 时间内完成，有人可以帮助我吗？ 我不能使用内置函数。

def potnr(a, b):
    rez = 1
    while b>0:
        if b%2:
            rez = rez * a

        b = b // 2
        a = a * a
        
    return rez

def liczba(n, m):
    k = 1
    while potnr(n, k) < m:
        k += 1

    return k

print(liczba(2, 16))

我只能在 O(k) 时间内完成，有人可以帮助我吗

Answer 1

n^k >= m当且仅当k >= log m base n

由于log m base n = log m / log n ，这很简单：

from math import log, ceil
def smallest_k(n, m):
    return ceil(log(m)/log(n))

这在O(1)时间内运行。

Answer 2

这个应该可以工作（我只是修复了返回的 k 值，因为不能保证它是前一个返回值的最小值）：

import math
def min_power(n,m):
    b=1
    while n**b < m:
        b *= 2
    a = b/2
    while b-a > 1:
        c = (a+b)/2
        if n**c < m:
            a = c
        else:
            b = c
    k = math.ceil(a)
    return k if (n**k >= m) else k+1

min_power(35,10**250)
# Out[23]: 162

Answer 3

首先确定n ^ k >= m的任何自然数k 。 然后细化您的估计以找到最小的这样的k 。

最简单的方法是找到k的 2 次幂的初始估计值。有一个包含n ^ k的临时值。 从k = 1开始，重复将k乘以 2，并对临时变量求平方，直到您的k足够大。

您的实际k将大于您找到的估计值的一半。 该范围内的数字有log2(k)位。 检查每一位，从最重要的一位开始。 对于每个这样的位，为 k 的两个值计算n ^ k k该位等于 0 和 1。与m比较 - 这将告诉您该位的值。 继续处理较低有效位，直到到达位 0（最低有效位）。

我不确定您是否可以假设计算n ^ k的复杂度为 O(1)。 如果不是，您必须在第一阶段存储所有n ^ k计算的中间结果，或者使用sqrt来计算n的次幂。