在仅通过特定节点（而不是其他节点）的正加权有向图中找到最短循环

Question

考虑一个加权有向图，包括 V 个顶点和 E 个边。 我正在寻找一种算法，找到仅通过 S 某个节点（必须通过 S 中的所有节点）而不是其他节点的最短循环。 循环从集合 S 中的节点 w 开始和结束。

是否可以删除 V - S 集合中的节点并删除它们对应的连接边，然后将算法（用于寻找最短循环）应用于此图，仅包括 S 节点及其对应的边？

我强调我们只考虑集合 S 中的节点，而不考虑其他节点。

我不确定以下链接是否与我的问题相关。 该链接要求必须通过蓝色节点的最短循环，但该循环可能会通过黑色节点（对此我不确定）。

在至少访问 X 节点一次的图中查找最短路

Answer 1

是的，按照您的问题陈述方式，考虑方法是正确的。

删除所有不属于集合 S 的顶点的图称为导出子图。 原始图中仅使用 S 中的顶点的每个路径/循环也可以在导出子图中找到。 因此，在导出子图中寻找最短环等同于在原始图中寻找环。

如果您的问题需要找到使用 S 中所有节点的最短循环，那么您正在解决旅行商问题，该问题被称为 NP-hard，这意味着没有已知的（并且可能不存在）多项式算法。 也就是说，这是一个经过充分研究的问题，您可以从精确算法（如果集合足够小）和启发式/近似算法中进行选择，以适应更大的规模。

Answer 2

第一步是检测图表中存在的循环（如果有）

这可以通过修改深度优先搜索 (DFS) 来完成，如下所示：

- As the DFS proceeds through nodes, store the predecessor of each node visited
- IF a node is visited for the second time ( indicating cycle )
    - Back track through the node predeccessors, storing the reversed cycle

现在您可以过滤为您的条件检测到的周期（访问 S 中的节点、最短等）

这是检测和记录周期的 DFS 的 C++ 代码

void cGraph::dfs_cycle_detector(vertex_t start)
{
    std::vector<bool> visited(vVertex.size(), false);
    vVertex_t pred(vVertex.size(), 0);

    std::stack<vertex_t> wait;
    wait.push(start);

    while (!wait.empty())
    {
        vertex_t v = wait.top();
        wait.pop();
        int vi = findIndex(v);
        if (!visited[vi])
        {
            visited[vi] = true;

            for (vertex_t w : adjacentOut(v))
            {
                if (!visited[findIndex(w)])
                {
                    wait.push(w);
                    pred[findIndex(w)] = v;
                }
                else
                {
                    // previously visited node - a cycle
                    vVertex_t cycle;

                    cycle.push_back(w);
                    cycle.push_back(v);

                    vertex_t pv = pred[findIndex(v)];
                    cycle.push_back(pv);
                    while (pv != w)
                    {
                        // back track one hop
                        pv = pred[findIndex(pv)];
                        cycle.push_back(pv);
                    }

                    std::reverse(cycle.begin(), cycle.end());

                    // display cycle
                    std::cout << "cycle: ";
                    for (vertex_t vc : cycle)
                        std::cout << vc->userName() << " ";
                    std::cout << "\n";
                }
            }
        }
    }
}

完整的应用程序位于https://github.com/JamesBremner/graphCycler

示例 output：

node a linked to b x
node b linked to c
node c linked to d
node d linked to a
node x linked to y
node y linked to

cycle: a b c d a