在具有正权重的有向图中找到最短长度的环

Question

我在一次采访中被问到这个问题，但我想不出任何像样的解决方案。 所以，我告诉他们找到所有循环然后选择长度最短的循环的天真方法。

我很想知道什么是解决这个问题的有效方法。

Answer 1

您可以轻松修改Floyd-Warshall 算法。 （如果您根本不熟悉图论，我建议您查看一下，例如获取《算法导论》的副本）。

传统上，您为每个i开始path[i][i] = 0 。 但是您可以改为从path[i][i] = INFINITY 。 它不会影响算法本身，因为无论如何这些零都没有用于计算（因为路径path[i][j]永远不会改变k == i或k == j ）。

最后， path[i][i]是经过i的最短循环的长度。 因此，您需要为所有i找到min(path[i][i]) 。 如果你想要循环本身（不仅是它的长度），你可以像通常使用普通路径一样完成它：通过在算法执行期间记住k 。

此外，您还可以使用Dijkstra 算法找到经过任何给定节点的最短周期。 如果您为每个节点运行此修改后的 Dijkstra，您将获得与 Floyd-Warshall 相同的结果。 由于每个 Dijkstra 都是O(n^2) ，因此您将获得相同的O(n^3)整体复杂度。

Answer 2

伪代码是对 Dijkstra 算法的简单修改。

for all u in V:
   for all v in V:
      path[u][v] = infinity

for all s in V:
   path[s][s] = 0
   H = makequeue (V) .. using pathvalues in path[s] array as keys
   while H is not empty:
      u = deletemin(H)
      for all edges (u,v) in E:
         if path[s][v] > path[s][u] + l(u, v) or path[s][s] == 0:
            path[s][v] = path[s][u] + l(u,v)
         decreaseKey(H, v)

lengthMinCycle = INT_MAX

for all v in V:
   if path[v][v] < lengthMinCycle & path[v][v] != 0 :
      lengthMinCycle = path[v][v]

if lengthMinCycle == INT_MAX:
   print(“The graph is acyclic.”)

else:
   print(“Length of minimum cycle is ”, lengthMinCycle)

时间复杂度：O(|V|^3)

Answer 3

• 执行 DFS
• 在 DFS 期间跟踪边缘的类型
• 边的类型是Tree Edge , Back Edge , Down Edge和Parent Edge
• 当你得到一个Back Edge并有另一个计数器来获取长度时，请跟踪。

有关更多详细信息，请参阅Algorithms in C++ Part5 - Robert Sedgwick

Answer 4

您需要做的是为每个节点分配另一个权重，该权重始终为 1。现在使用这些权重运行从一个节点到同一节点的任何最短路径算法。 但是在考虑中间路径时，您将不得不忽略实际权重为负的路径。

Answer 5

当您的问题与TSP匹配时，我们还可以使用分支定界算法来解决旅行商问题。 http://lcm.csa.iisc.ernet.in/dsa/node187.html

Answer 6

下面是对 Floyd - Warshell 算法的简单修改。

V = 4
INF = 999999


def minimumCycleLength(graph): 
    dist =  [[0]*V for i in range(V)]
    for i in range(V):
            for j in range(V):
                dist[i][j] = graph[i][j];
    for k in range(V):
        for i in range(V):
            for j in range(V):
                dist[i][j] = min(dist[i][j] ,dist[i][k]+ dist[k][j])
    length = INF
    for i in range(V):
        for j in range(V):
            length = min(length,dist[i][j]) 
    return length

graph = [ [INF, 1, 1,INF],
        [INF, INF, 1,INF],
        [1, INF, INF, 1],
        [INF, INF, INF, 1] ]
length = minimumCycleLength(graph)
print length