使用两个浮点数进行双除法？

Question

我想使用两个浮点数进行双重划分（似乎Direct Compute不支持双重划分）。

那可能吗？

这是我到目前为止尝试过的（c＃代码，以后应该是HLSL）：

int count = 7;
double value = 0.0073812398871474;
float f1 = (float)value;
float f2 = (float)((value - f1));
float r1 = f1 / count;
float r2 = f2 / count;
double result = (double)r1 + (double)r2;

0,00105446285765182（结果）

0,00105446284102106（正确的结果）

它与f1中的舍入有关。 如果取值为：

 double value = 0.0073812344471474;

那么结果是正确的。

Answer 1

用浮点除法计算计数的倒数，然后使用牛顿-拉夫森倒数公式将精度提高到全双精度。

int count = 7;
double value = 0.0073812398871474;
double r = (double) (1.0f / count); // approximate reciprocal
r = r * (2.0 - count*r); // much better approximation
r = r * (2.0 - count*r); // should be full double precision by now.
double result = value * r;

Answer 2

那可能吗？

是的，只要您：

• 接受不可避免的精度损失
• 请记住，并非所有双打都首先适合浮点数

---

更新资料

阅读您的评论后（要求双精度），我的最新答案是：

没有。

Answer 3

显然您的算术错误尚未立即清除。 让我说清楚。

假设双精度数有两个部分，大部分和较小部分，每个部分的精度大约为32位。 （这并不是双打的确切工作方式，但会达到我们的目的。）

浮点数只有一部分。

想象一下，我们一次执行32位，但是将所有内容保持为两倍：

double divisor = whatever;
double dividend = dividendbig + dividendlittle;
double bigquotient = dividendbig / divisor;

什么是bigquotient？ 这是双重的。 因此，它分为两个部分。 bigquotient等于bigquotientbig + bigquotientlittle。 继续：

double littlequotient = dividendlittle / divisor;

再次，littlequotient是littlequotientbig + littlequotientlittle。 现在，我们添加商：

double quotient = bigquotient + littlequotient;

我们如何计算呢？ 商有两个部分。 quotientbig将设置为bigquotientbig。 quotientlittle将设置为bigquotientlittle + littlequotientbig。 littlequotientlittle被丢弃。

现在，假设您以浮动形式进行操作。 你有：

float f1 = dividendbig;
float f2 = dividendlittle;
float r1 = f1 / divisor;

好，r1是什么？ 这是浮游物。 因此，它只有一部分。 r1是bigquotientbig。

float r2 = f2 / divisor;

什么是r2？ 这是浮游物。 因此，它只有一部分。 r2是littlequotientbig。

double result = (double)r1 + (double)r2;

将它们加在一起，得到bigquotientbig + littlequotientbig。 bigquotientlittle发生了什么？ 您在那里丢失了32位精度，因此一路出现32位错误也就不足为奇了。 您根本没有提出将32位近似为64位算术的正确算法。

为了计算(big + little)/divisor ，您不能简单地做(big / divisor) + (little / divisor) 。 每次除法四舍五入时，该代数规则将不适用！

现在清楚了吗？

Answer 4

那怎么样

result = value * (double)(1f / (float)count); ？

在那里，您仅划分两个浮点数。 我在那里需要的演员过多，但这才是最重要的概念。

编辑：
好吧，所以您担心实际值和舍入值之间的差异，对吗？ 因此，只需一遍又一遍地做，直到正确为止！

double result = 0;
double difference = value;
double total = 0;
float f1 = 0;
while (difference != 0)
{
    f1 = (float)difference;
    total += f1;
    difference = value - total;
    result += (double)(f1 / count);
}

...但是您知道，简单的答案仍然是“否”。 这甚至还不能捕获所有舍入错误。 根据我的测试，它最多可将不准确性降低到1e-17，大约有30％的时间。

Answer 5

在评论中，您说：

当然不应有任何精度损失。 这就是为什么我使用两个浮点数的原因。 如果我愿意接受精度损失，那么我可以只投两个浮点数并进行除法。

IEEE-754 single precision值具有24个有效的二进制数字。 double precision值有53个有效数字。 您甚至不能在不损失精度的情况下将双精度值表示为两个单精度值，更不用说用这种表示进行算术运算了。

就是说， 可以仅使用双精度和单精度之间的转换，双精度减法/加法和单精度运算来进行正确舍入的双精度除法，但是如果您确实想正确地做到这一点，则相当复杂。 您是否需要实际的IEEE-754正确舍入，还是仅需要最后一到两个正确的答案？