在加权定向循环图中寻找从A到B的不同路径的算法

Question

假设我们有一个DIRECTED ， WEIGHTED和CYCLIC图表。

假设我们只对总重量小于MAX_WEIGHT的路径感兴趣

找到总重量小于MAX_WEIGHT的两个节点A和B之间的不同路径数量的最合适（或任何）算法是什么？

PS：这不是我的功课。 只是个人的非商业项目。

Answer 1

如果节点数和MAX_WEIGHT不是太大（并且所有权重都是整数），则可以使用动态编程

unsigned long long int num_of_paths[MAX_WEIGHT+1][num_nodes];

初始化为0，但num_of_paths[0][start] = 1;除外num_of_paths[0][start] = 1; 。

for(w = 0; w < MAX_WEIGHT; ++w){
    for(n = 0; n < num_nodes; ++n){
        if (num_of_paths[w][n] > 0){
            /* for each child c of node n
             * if w + weight(n->c) <= MAX_WEIGHT
             * num_of_paths[w+weight(n->c)][c] += num_of_paths[w][n];
             */
        }
    }
}

解是num_of_paths[w][target], 0 <= w <= MAX_WEIGHT总和num_of_paths[w][target], 0 <= w <= MAX_WEIGHT 。

Answer 2

简单的递归。 你有指数时间。 显然，不允许零重量循环。

功能noe（节点N，极限重量W）

1. 没有。 如果所有输出边都具有权重> W，则路径为零

2. 否则没有。 路径是由和（noe（C1，W-W1），noe（C2，W-W2），... noe（Cn，W-Wn））得到的路径数之和，其中C1 ... Cn是连接到N的节点，其中W-Wi不是负数，其中Wi是连接边缘的权重，用您喜欢的语言编写。

根据Dijkstra的算法，应该存在更有效的解决方案，但我认为这对于家庭作业来说已经足够了。

Answer 3

你的问题是K-不相交路径的更一般情况在有向平面图中 ，没有固定的K.

定向平面图的K不相交路径问题如下：

给定 ：有向平面图G =（V; E）和k对（r ₁ ; s ₁ ）; ....; （r _k ; s _k ）G的顶点;

find ：k成对顶点不相交的有向路径P ₁ ; ......; G中的P _k ，其中P _i从r _i到s _i （i = 1; ......; k）。

在k-disjoint路径中，您可以从所有s _i到B绘制弧，并且通过这种方式从A到所有r _i ，从G创建图G'。

现在，如果你能用P中的G'解决你的问题，你就可以解决G中的k-disjoint路径，所以P = NP。

但是，如果你阅读链接的论文，它给出了一般图形的一些想法（用固定的k求解k-不相交路径），你可以用它来得到一些好的近似。

还有更复杂的算法在一般图中解决了P（对于固定k）的这个问题。 但总的来说并不容易（这是西摩）。

因此，您目前最好的选择是使用强力算法。

编辑：因为MAXWEIGHT独立于你的输入大小（你的图形大小）它不会影响这个问题，也因为它是NP-Hard的无向未加权图，你仍然可以简单地得出它的NP-Hard。