最小化累积浮点算术误差

Question

我在 3D 空间中有一个 2D 凸多边形和一个 function 来测量多边形的面积。

public double area() {
    if (vertices.size() >= 3) {
        double area = 0;
        Vector3 origin = vertices.get(0);
        Vector3 prev = vertices.get(1).clone();
        prev.sub(origin);
        for (int i = 2; i < vertices.size(); i++) {
            Vector3 current = vertices.get(i).clone();
            current.sub(origin);
            Vector3 cross = prev.cross(current);
            area += cross.magnitude();
            prev = current;
        }
        area /= 2;
        return area;
    } else {
        return 0;
    }
}

为了测试此方法是否适用于多边形的所有方向，我让我的程序在每次迭代时稍微旋转它并计算面积。 像这样...

Face f = poly.getFaces().get(0);
        for (int i = 0; i < f.size(); i++) {
            Vector3 v = f.getVertex(i);
            v.rotate(0.1f, 0.2f, 0.3f);
        }
        if (blah % 1000 == 0)
            System.out.println(blah + ":\t" + f.area());

在使用 20x20 正方形进行测试时，我的方法似乎是正确的。 但是rotate方法（Vector3类中的一个方法）好像给多边形每个顶点的position引入了一些误差，影响了面积计算。 这是 Vector3.rotate() 方法

public void rotate(double xAngle, double yAngle, double zAngle) {
    double oldY = y;
    double oldZ = z;
    y = oldY * Math.cos(xAngle) - oldZ * Math.sin(xAngle);
    z = oldY * Math.sin(xAngle) + oldZ * Math.cos(xAngle);

    oldZ = z;
    double oldX = x;
    z = oldZ * Math.cos(yAngle) - oldX * Math.sin(yAngle);
    x = oldZ * Math.sin(yAngle) + oldX * Math.cos(yAngle);

    oldX = x;
    oldY = y;
    x = oldX * Math.cos(zAngle) - oldY * Math.sin(zAngle);
    y = oldX * Math.sin(zAngle) + oldY * Math.cos(zAngle);
}

这是我的程序的 output，格式为“迭代：区域”：

0:  400.0
1000:   399.9999999999981
2000:   399.99999999999744
3000:   399.9999999999959
4000:   399.9999999999924
5000:   399.9999999999912
6000:   399.99999999999187
7000:   399.9999999999892
8000:   399.9999999999868
9000:   399.99999999998664
10000:  399.99999999998386
11000:  399.99999999998283
12000:  399.99999999998215
13000:  399.9999999999805
14000:  399.99999999998016
15000:  399.99999999997897
16000:  399.9999999999782
17000:  399.99999999997715
18000:  399.99999999997726
19000:  399.9999999999769
20000:  399.99999999997584

由于这最终将用于物理引擎，因此我想知道如何最大限度地减少累积误差，因为将定期使用 Vector3.rotate() 方法。

谢谢！

一些奇怪的笔记：

• 误差与旋转量成正比。 IE。 每次迭代更大的旋转 - >每次迭代更大的错误。

• 将 double 传递给 rotate function 时比传递浮点数时出错更多。

Answer 1

重复的浮点触发操作总是会产生一些累积误差——这就是它们的工作原理。 要处理它，您基本上有两种选择：

1. 忽略它。 请注意，在您的示例中，经过 20,000 次迭代 (.) 后，该区域仍然精确到小数点后 13 位，这还不错，考虑到双打只能存储大约 16 位小数以开始。

   事实上，绘制你的图表，你的正方形面积似乎或多或少呈线性下降：
   
   这是有道理的，假设您的近似旋转矩阵的有效行列式约为 1 − 3.417825 × 10 ^-18 ，这完全在正常的双精度浮点误差范围内。 如果是这样的话，你的正方形面积将继续以非常缓慢的指数衰减到零，这样你就需要大约二十亿 (2 × 10 ⁹ ) 7.3 × 10 ¹⁴次迭代使面积下降到 399。假设每秒迭代 100 次，大约是七个半月 23万年。

   编辑：当我第一次计算该区域达到 399 需要多长时间时，我似乎犯了一个错误，并且以某种方式设法高估了衰减率大约 400,000(.) 倍。 我已经纠正了上面的错误。

2. 如果您仍然觉得不需要任何累积误差，答案很简单：不要迭代浮点旋转。 相反，让您的 object 将其当前方向存储在一个成员变量中，并使用该信息始终将 object 从其原始方向旋转到当前方向。

   这在 2D 中很简单，因为您只需要存储一个角度。 在 3D 中，我建议存储四元数或矩阵，并偶尔重新缩放它，使其范数/行列式保持大约为一（并且，如果您使用矩阵来表示刚体的方向，它仍然近似正交）。

   当然，这种方法不会消除 object方向的累积误差，但重新缩放确实确保 object 的体积、面积和/或形状不会受到影响。

Answer 2

你说有累积错误，但我不相信有（注意你的 output 并不总是 go 向下）和错误的 rest 只是由于四舍五入和浮点数精度损失。

我在大学（在 Java 中）做过一个 2d 物理引擎，发现 double 更精确（当然它是oracles datatype sizes

简而言之，您永远无法摆脱这种行为，您只需要接受精度的限制

编辑：

现在我看看你的.area function 可能有一些累积由于

+= cross.magnitude

但我不得不说整个 function 看起来有点奇怪。 为什么它需要知道以前的顶点来计算当前面积？