8×8矩阵的特征向量和特征值

Question

我有一个8 x 8的浮点数矩阵，需要从中计算特征向量和特征值。 这是为了使用PCA（主成分分析）减少功能，如果通过传统方法完成，这是一项耗时的工作。 我尝试使用幂方法，因为Y = C * X，其中X是我的8×8矩阵。

                float[,] XMatrix = new float[8, 1];
                float[,] YMatrix = new float[8, 1];
                float max = 0;
                XMatrix[0, 0] = 1;



                for (int i = 0; i < 8; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < 1; j++)
                    {

                        for (int k = 0; k < 8; k++)
                        {
                            YMatrix[i, j] += C[i, k] * XMatrix[k, j];
                            if (YMatrix[i, j] > max)
                                max = YMatrix[i, j];
                        }

                    }
                }

我知道这是不正确的，但无法弄清楚。 我需要帮助来使用幂方法或者更有效的计算方法。

提前致谢。

Answer 1

对于任何大小（密集）矩阵，以有效的方式（即快速！）检索特征值/特征向量并不是完全无关紧要的。 我建议你使用类似QR算法的东西（虽然这可能是一次性计算单个8x8矩阵的过度杀伤）。

QR算法计算矩阵的Schur分解。 它肯定是特征值计算中最重要的算法之一。 但是，它仅适用于密集矩阵（如上所述）。

QR算法由两个独立的阶段组成。 首先，通过相似变换，原始矩阵在有限数量的步骤中转换为Hessenberg形式或 - 在Hermitian /对称情况下 - 转换为真实的三对角形式。 该算法的第一阶段准备其第二阶段，即应用于Hessenberg或三对角矩阵的实际QR迭代。

算法的总体复杂度（浮点数）为O（n3）。 有关此算法的详细说明， 请参见此处 。 或者在Google中搜索特征值算法应该为您提供许多计算所需特征值/向量的替代方法。

另外，我没有详细研究过这个问题，但Math.NET免费图书馆可以帮助你...