Prim的MST算法的时间复杂度

Question

有人可以向我解释为什么使用相邻矩阵的Prim算法会导致O(V 2 )的时间复杂度？

Answer 1

（对于看起来粗鄙的ASCII数学提前抱歉，我认为我们不能使用LaTEX来排版答案）

实现具有O(V^2)复杂度的Prim算法的传统方法是除了邻接矩阵之外还有一个数组，让它称之为distance ，该距离具有该顶点到节点的最小距离。

这样，我们只检查distance以找到下一个目标，并且因为我们这样做V次并且有V个成员的distance ，我们的复杂度是O(V^2) 。

它本身就不够，因为distance的原始值很快就会过时。 要更新此数组，我们所做的就是在每个步骤结束时，迭代我们的邻接矩阵并适当地更新distance 。 这不会影响我们的时间复杂度，因为它仅意味着每个步骤取O(V+V) = O(2V) = O(V) 。 因此我们的算法是O(V^2) 。

在不使用distance我们必须每次迭代所有E边缘，最坏的情况是包含V ^ 2边缘，这意味着我们的时间复杂度将为O(V^3) 。

证明：

为了证明没有distance数组，不可能在O(V^2)时间内计算MST，考虑然后在每次迭代时使用大小为n的树，可能会添加Vn顶点。

要计算选择哪一个，我们必须检查每一个以找到它们与树的最小距离，然后将它们相互比较并找到最小值。

在最坏的情况下，每个节点包含到树中每个节点的连接，导致n *（Vn）边缘和O(n(Vn))的复杂度。

由于n从1到V，我们的总数将是每个步骤的总和，我们的最终时间复杂度是：

(sum O(n(V-n)) as n = 1 to V) =  O(1/6(V-1) V (V+1)) = O(V^3)

QED

Answer 2

注意：这个答案只是借用了jozefg的答案并试图更充分地解释它，因为在我理解之前我必须先思考一下。

背景

图的邻接矩阵表示构造V×V矩阵（其中V是顶点的数量）。 单元格（a，b）的值是连接顶点a和b的边的权重，如果没有边，则为零。

Adjacency Matrix

   A B C D E
--------------
A  0 1 0 3 2
B  1 0 0 0 2
C  0 0 0 4 3
D  3 0 4 0 1
E  2 2 3 1 0

Prim算法是一种算法，它采用图形和起始节点，并在图形上找到最小生成树 - 也就是说，它找到边缘的子集，以便结果是包含所有节点和组合边缘的树重量最小化。 可概括如下：

1. 将起始节点放在树中。
2. 重复，直到所有节点都在树中：
   1. 查找将树中的节点连接到不在树中的节点的所有边。
   2. 在这些边缘中，选择具有最小重量的边缘。
   3. 将该边和连接的节点添加到树中。

分析

我们现在可以开始像这样分析算法：

1. 在循环的每次迭代中，我们向树中添加一个节点。 由于存在V个节点，因此该循环存在O（V）次迭代。
2. 在循环的每次迭代中，我们需要在树中查找和测试边。 如果存在E边缘，则天真搜索实现使用O（E）来找到具有最小权重的边缘。
3. 因此，在组合中，我们应该期望复杂度为O（VE），在最坏的情况下可能是O（V ^ 3）。

然而，jozefg给出了一个很好的答案，展示了如何实现O（V ^ 2）的复杂性。

Distance to Tree

            | A  B  C  D  E
            |----------------
Iteration 0 | 0  1* #  3  2
          1 | 0  0  #  3  2*
          2 | 0  0  4  1* 0
          3 | 0  0  3* 0  0
          4 | 0  0  0  0  0

NB. # = infinity (not connected to tree)
    * = minimum weight edge in this iteration

这里距离矢量表示将每个节点连接到树的最小加权边缘，并按如下方式使用：

1. 使用复杂度为O（V）的起始节点A的边缘权重进行初始化。
2. 要查找要添加的下一个节点，只需找到距离的最小元素（并将其从列表中删除）。 这是O（V）。
3. 添加新节点后，有O（V）个新边连接树到其余节点; 对于这些中的每一个确定新边缘的重量是否小于现有距离。 如果是，请更新距离向量。 再次，O（V）。

使用这三个步骤减少了从O（E）到O（V）的搜索时间，并添加了额外的O（V）步骤以在每次迭代时更新距离矢量。 由于每次迭代现在是O（V），因此总体复杂度为O（V ^ 2）。

Answer 3

首先，它显然至少是O（V ^ 2），因为这是邻接矩阵的大小。

查看http://en.wikipedia.org/wiki/Prim%27s_algorithm ，您需要执行“重复直到Vnew = V”步骤V次。

在该步骤中，您需要计算V中任何顶点与V外任何顶点之间的最短链接。维护一个大小为V的数组，保持每个顶点无穷大（如果顶点为V）或最短的长度V中的任何顶点与该顶点之间的链接及其长度（所以在开始时这只是起始顶点和每个其他顶点之间的链接长度）。 要找到要添加到V的下一个顶点，只需按成本V搜索此数组。一旦有了新顶点，查看从该顶点到每个其他顶点的所有链接，看看它们中是否有任何链接从V到那个顶点。 如果是，请更新阵列。 这也花费了V.

所以你有V步（V顶点要添加）每个花费成本V，这给你O（V ^ 2）