在图中找到一个最小化其他两个节点之间距离的节点

Question

我有一个有向加权图 G，有 V 个顶点和 E 个边。 给定图中的两个节点，假设 A 和 B，并给定边 AB 的权重表示为 w(A, B)，我需要找到一个节点 C，以便 max(w(A, C), w (B, C)) 在所有可能性中是最小的。 我所说的可能性是指 C 可以采用的所有值。 我不知道它是否完全清楚，如果不是，我会尝试更精确。

Answer 1

如果 w(A, C) 你真的只是指一条边的权重，那么依次检查所有直接连接到 A 的节点，最坏的总成本是图的大小，这与你预期的一样好，假设您总是需要阅读图表。

如果 w(A, C) 是指从 A 到 C 的最低成本路径的成本，请注意大多数寻路算法，如http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm ，实际上计算从 A 到每个其他节点的最低成本路径的成本。 如果您同时拥有从 A 到每个节点的成本和从每个节点到 B 的成本，则可以通过依次查看每个节点来解决您的问题。

因此，进行一次运行以计算从 A 到每个其他节点的成本，然后反转节点中的边并进行另一次运行以计算从 B 到反转图中每个其他节点的最低成本路径。 然后对于每个节点，您都有成本最低的 w(A, C) 和成本最低的 w(C, B)，因此您可以依次检查每个节点，看看哪个是最好的。

如果您的图表包含循环，那么您需要类似http://en.wikipedia.org/wiki/Floyd%E2%80%93Warshall_algorithm 的内容。 如果它有负循环，你就会遇到问题。

Answer 2

不是很清楚你问的是什么，但这里是加权距离的一种方法：将其视为 R^n 中的距离问题，其中在任何维度上到 C 的实际直线距离乘以该路径维度的权重以获得加权距离。 使整个表达式成为加权距离的总和，并使用二阶导数检验来最大化该表达式。

干杯，安德鲁