删除无向图中的一个节点，该节点破坏了其他两个节点之间的路径

Question

我需要解决当前正在解决的问题，这涉及到在无向图中找到节点v，将其删除后将破坏其他两个节点s和t之间的所有路径。

假设一个n节点无向图G =（V，E）包含两个节点s和t，使得s和t之间的距离严格大于n / 2。 证明必须存在某个节点v，该节点不等于s或t，以便从G中删除v会破坏所有st路径。 （换句话说，通过删除v从G获得的图不包含从s到t的路径。）

给出一个运行时间为O（m + n）的算法来找到这样的节点v。
（对于解决方案，您可以使用纯英语或伪代码。）

我对此的理解是，该解决方案将涉及创建广度优先搜索以找到节点v并将其删除，但是我不确定如何证明删除该节点首先存在，从而删除该节点会破坏所有的圣路。

Answer 1

首先证明部分：

假设v节点不存在，这意味着至少有两条路径使用从s到t完全不同的节点，并且距离大于n /2。这是不可能的，因为您甚至没有足够的节点数来满足这两个条件路径。 因此，这与我们关于v节点存在的假设相矛盾。

第二部分算法：

使用双向BFS。 如果从s和t开始搜索，则存在v节点，因此它们肯定会在v节点相遇。 在最坏的情况下，您会遍历所有V和E，因此它就是O（V + E）。