刪除無向圖中的一個節點，該節點破壞了其他兩個節點之間的路徑

Question

我需要解決當前正在解決的問題，這涉及到在無向圖中找到節點v，將其刪除后將破壞其他兩個節點s和t之間的所有路徑。

假設一個n節點無向圖G =（V，E）包含兩個節點s和t，使得s和t之間的距離嚴格大於n / 2。 證明必須存在某個節點v，該節點不等於s或t，以便從G中刪除v會破壞所有st路徑。 （換句話說，通過刪除v從G獲得的圖不包含從s到t的路徑。）

給出一個運行時間為O（m + n）的算法來找到這樣的節點v。
（對於解決方案，您可以使用純英語或偽代碼。）

我對此的理解是，該解決方案將涉及創建廣度優先搜索以找到節點v並將其刪除，但是我不確定如何證明刪除該節點首先存在，從而刪除該節點會破壞所有的聖路。

Answer 1

首先證明部分：

假設v節點不存在，這意味着至少有兩條路徑使用從s到t完全不同的節點，並且距離大於n /2。這是不可能的，因為您甚至沒有足夠的節點數來滿足這兩個條件路徑。 因此，這與我們關於v節點存在的假設相矛盾。

第二部分算法：

使用雙向BFS。 如果從s和t開始搜索，則存在v節點，因此它們肯定會在v節點相遇。 在最壞的情況下，您會遍歷所有V和E，因此它就是O（V + E）。