無向圖，檢查節點之間是否存在路徑

Question

我正在嘗試檢查從一個頂點到其他多個頂點之間是否存在路徑（在我的特殊情況下，我需要檢查是否有從牆頂到地面上任何其他磚塊的路徑，並且每一個磚是一個頂點） 。

我已經找到了一些算法，但是我需要簡化版本只是為了檢查路徑是否存在。 （如果我也可以有許多可能的路徑，那就太好了。）

我是新手，在詢問之前，已經搜索了很多關於這些搜索算法的內容，但是我不知道如何在我的情況下實現它們。

編輯1：我忘了補充一點，我可以擁有數百個積木（頂點），並且需要最快的方法來檢查路徑是否存在。 我搜索了Dijkstra的算法，它看起來太復雜了。 由於某種原因，有向圖有更多的教程和解釋，所以這就是我在這里寫問題的原因。

現在我有頂點類：

public class Vertex : MonoBehaviour {

public string id;

public float x; // Horizontal coord
public float y; // Vertical coord

public Vertex(string id, float x, float y)
{
    this.id = id;
    this.x = x;
    this.y = y;
}
}

和邊緣類：

public class Edge : MonoBehaviour {

public Vertex Vertex1; // Vertex one
public Vertex Vertex2; // Vertex two

public Edge(Vertex Vertex1, Vertex Vertex2)
{
    this.Vertex1 = Vertex1;
    this.Vertex2 = Vertex2;
}
}

真的不知道如何用圖形表示它們 ，因為作為輸入，我有3維牆，並且在銷毀一些磚塊之后，我需要檢查頂部磚塊是否具有通向地板上任何底部磚塊的路徑，因為如果沒有，則基本上不會形成壁壘坍方。 所以看起來我必須檢查所有路徑的3維。

編輯2：

在頂點類中，我添加了鄰居列表public List<Vertex> Neighbours; 但仍然不知道如何在3d中表示圖形，因此至少您可以告訴我如何在2d中表示圖形。

ps（謝謝大家的評論和回答，我非常感謝他們）。

Answer 1

借助一些預處理，您可以在幾乎恆定的時間內回答這些查詢，這在您必須測試幾對節點時很有用（似乎確實如此）。

預處理很簡單：用V個項初始化一個不相交集（V是頂點數），然后對每個邊（x，y）調用union(x, y) 。 這在邊沿數量上幾乎是線性的（“幾乎”是指它的逆阿克曼因子不同，該因子非常接近常數，因此實際上也可能是常數）。

要查找x和y之間是否存在路徑，請測試find(x) == find(y) 。

通過將鄰接矩陣提高到第V次冪，可以找到任何一對之間的可能路徑數（使用任何快速指數算法，但它仍然相對較慢）。

Answer 2

很簡單

1. 將源頂點放入隊列
2. 檢查隊列是否為空，是否完成，否則，無路徑
3. 檢查它是否是目標集中的頂點之一，如果是，則完成，路徑存在，如果不存在，則將該頂點的所有鄰居放入隊列中，重復陡峭2

Answer 3

要查找任何路徑，可以使用深度優先搜索。 要找到最短路徑，可以使用廣度優先搜索。 要查找所有路徑（因此有路徑數），可以使用以上兩種方法之一，並修改為（a）在找到目標節點后繼續，並且（b）查看其他路徑是否可以到達目標節點（盡管可能已經到達）達到之前）。 要查找到節點的權重最小的路徑（在加權圖中），可以使用Dijkstra算法（無負邊），Bellman-Ford（負邊可以）或Floyd-Warshall（無負循環）。

Answer 4

您只想測試路徑是否存在，因此從圖論的角度來看，最好的選擇是使用BFS。

你有一個源頂點src和目標頂點的集合S _TGT。

由於在BFS結束時圖形是無向的，因此您將擁有包含src的已連接組件的一組頂點。 只需檢查S _tgt是否是該集合的子集即可。

總結一下：

1. 令S _bfs為頂點的空哈希集
2. 從src開始執行BFS：
   1. 發現頂點v時 ，將其插入S _bfs
3. 執行S _bfs和S _tgt的交集，以從src獲取所有目標頂點

Answer 5

由於您正在尋找一種簡單的解決方案，因此我將使用廣度優先搜索。 一個不太簡單的解決方案將涉及諸如All-Pairs最短路徑算法之類的問題，以確定在圖中每對節點之間的最短路徑。