解决Matlab中的稀疏三角线性系统

Question

我在Matlab中为一些大型稀疏矩阵实现了LU分解算法，以解决线性系统。 当我得到L，U矩阵时，我使用了向后替换和正向替换算法来求解三角线性系统：

    %x = U\y;

for i = n : -1 : 1
    x(i,:) = (y(i,:)-U(i,:)*x)/U(i,i);
end

但是我发现这段代码是瓶颈。 尽管我可以使用A \\ b来获得解决方案，但是我想知道如何在Matlab中实现一种有效的算法来解决此问题，例如，我可以编写矩阵乘积来模拟以下动作而无需for循环吗？

（我有一些参考书和论文，但是所有代码都不在Matlab中，仅适用于C ++或C代码）

Answer 1

首先， 正确性要高于速度 ； 您发布的循环产生的结果不同于 U\\y ，因此您可能要先检查一下：）

AFAIK，反斜杠会对输入矩阵进行一些检查，并相应地调用最快的算法。 当这些检查表明A为较低的三角形时，它将完全按照您的操作进行操作（但可能会更有效）。

无论如何，为了加快代码速度：您应该预先分配x ，否则Matlab将在每次迭代时强制增大向量。 另外，将循环变量ii称为i是虚数单位，每次迭代的名称解析都需要一些时间。 因此，总而言之：

x = zeros(size(y));
for ii = n : -1 : 1
    x(ii,:) = (y(ii,:)-U(ii,:)*x)/U(ii,ii);
end

请注意，没有“矢量化”解决方案，因为下一个结果取决于上一个结果。