解決Matlab中的稀疏三角線性系統

Question

我在Matlab中為一些大型稀疏矩陣實現了LU分解算法，以解決線性系統。 當我得到L，U矩陣時，我使用了向后替換和正向替換算法來求解三角線性系統：

    %x = U\y;

for i = n : -1 : 1
    x(i,:) = (y(i,:)-U(i,:)*x)/U(i,i);
end

但是我發現這段代碼是瓶頸。 盡管我可以使用A \\ b來獲得解決方案，但是我想知道如何在Matlab中實現一種有效的算法來解決此問題，例如，我可以編寫矩陣乘積來模擬以下動作而無需for循環嗎？

（我有一些參考書和論文，但是所有代碼都不在Matlab中，僅適用於C ++或C代碼）

Answer 1

首先， 正確性要高於速度 ； 您發布的循環產生的結果不同於 U\\y ，因此您可能要先檢查一下：）

AFAIK，反斜杠會對輸入矩陣進行一些檢查，並相應地調用最快的算法。 當這些檢查表明A為較低的三角形時，它將完全按照您的操作進行操作（但可能會更有效）。

無論如何，為了加快代碼速度：您應該預先分配x ，否則Matlab將在每次迭代時強制增大向量。 另外，將循環變量ii稱為i是虛數單位，每次迭代的名稱解析都需要一些時間。 因此，總而言之：

x = zeros(size(y));
for ii = n : -1 : 1
    x(ii,:) = (y(ii,:)-U(ii,:)*x)/U(ii,ii);
end

請注意，沒有“矢量化”解決方案，因為下一個結果取決於上一個結果。