Dijkstra的復雜性正確嗎？

Question

我對Dijkstra算法的運行時復雜度有疑問。 （請參閱CLRS版本3中的偽代碼）：

DIJKSTRA(G, w, s)
1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
2 S ← ∅ 
3 Q ← V[G]
4 while Q != ∅ 
5   do u ← EXTRACT-MIN(Q)
6   S ← S ∪ {u} 
7   for each vertex v ∈ Adj[u]
8     do RELAX(u, v,w)

我知道第3行總計為O（V），第5行總計為O（VlogV）； 第7行總計為O（E），第8行隱含了reduce_key（），因此每個Relax（）操作的logV。 但是在Relax（）中，在d [v]> d [u] + weight並決定放松之后，我們是否應該在調用reduce_key（Q，pos，d [v]之前先查詢v在隊列Q中的位置？ ）用d [v]替換pos的鍵？ 請注意，此查找本身的成本為O（V）。 所以每個Relax（）應該花費O（V），而不是O（logV），對嗎？

有關空間復雜性的一個問題：為了比較隊列Q中的頂點，我設計了一個具有距離的struct / class頂點作為一個成員，然后我實現了operator <等以通過比較它們的距離對頂點進行排序。 但似乎我必須定義一個重復數組dist []以便在Relax（）中執行dist [v] = dist [u] + weight。 如果我沒有定義重復數組，則必須查找v和u在隊列Q中的位置，然后獲取並檢查它們的距離。 應該以這種方式工作嗎？ 也許我的執行不好？

Answer 1

除非您指定數據結構，否則 Dijkstra的算法（如您所寫）不會具有運行時復雜性。 您以某種方式正確地說“第7行”涉及O（E）運算，但讓我們看一下這些行（很幸運，Dijkstra很容易分析）。

1. 初始化的意思是“給所有頂點一個無限的距離，除了源的距離為0。這很容易，可以在O（V）中完成。

2. S有什么用處？ 您將其“只寫”使用。

3. 您將所有元素放入隊列。 這是龍。 什么是（優先級！）隊列？ 具有操作的數據結構，可以添加，可選地減少鍵（Dijkstra需要），移除（Dijkstra中不需要），extractMin。 根據實現，這些操作具有某些運行時。 例如，您可以構建一個只是（標記）集的啞PQ-然后在固定時間內添加和減少鍵，但是要提取最小值，則必須進行搜索。 Dijkstra中的規范解決方案是使用一個隊列（如堆）來實現O（log n）中的所有相關操作。 讓我們分析這種情況，盡管從技術上講斐波那契堆會更好。 不要自己實現隊列。 使用真正的PQ實現可以節省多少錢，這真是令人驚訝。

4. 您經歷了n次循環。

5. 每次，您提取最小值，該最小值為O（n log n）總數（在所有迭代中）。

6. S有什么用處？

7. 您最多要遍歷每個頂點的邊緣一次，即，要對每個邊緣進行兩次韌化處理，因此總的來說，您可以完成循環O（E）次的所有操作。

8. 放松意味着檢查是否必須減小鍵並這樣做。 我們已經知道，每個這樣的操作都可以在隊列（如果是堆）中添加O（log V），並且我們必須執行O（E）次，因此它是O（E log V），這占了整個運行時間。

如果您使用斐波那契堆，則可以降至O（VlogV + E），但這是學術性的。 實際的實現會調整堆。 如果您想了解實現的性能，請分析PQ操作。 但是正如我所說，如果您不完全知道自己在做什么，最好使用現有的實現。 您“在調用reduceKey之前先查找職位”的想法告訴我，在提出一個有效地使每個插入項占用O（V）（每次調用一次reduceKey進行排序）或O（ V）每次提取的最小值（通過找到所需的最小值）。