Dijkstra的复杂性正确吗？

Question

我对Dijkstra算法的运行时复杂度有疑问。 （请参阅CLRS版本3中的伪代码）：

DIJKSTRA(G, w, s)
1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
2 S ← ∅ 
3 Q ← V[G]
4 while Q != ∅ 
5   do u ← EXTRACT-MIN(Q)
6   S ← S ∪ {u} 
7   for each vertex v ∈ Adj[u]
8     do RELAX(u, v,w)

我知道第3行总计为O（V），第5行总计为O（VlogV）； 第7行总计为O（E），第8行隐含了reduce_key（），因此每个Relax（）操作的logV。 但是在Relax（）中，在d [v]> d [u] + weight并决定放松之后，我们是否应该在调用reduce_key（Q，pos，d [v]之前先查询v在队列Q中的位置？ ）用d [v]替换pos的键？ 请注意，此查找本身的成本为O（V）。 所以每个Relax（）应该花费O（V），而不是O（logV），对吗？

有关空间复杂性的一个问题：为了比较队列Q中的顶点，我设计了一个具有距离的struct / class顶点作为一个成员，然后我实现了operator <等以通过比较它们的距离对顶点进行排序。 但似乎我必须定义一个重复数组dist []以便在Relax（）中执行dist [v] = dist [u] + weight。 如果我没有定义重复数组，则必须查找v和u在队列Q中的位置，然后获取并检查它们的距离。 应该以这种方式工作吗？ 也许我的执行不好？

Answer 1

除非您指定数据结构，否则 Dijkstra的算法（如您所写）不会具有运行时复杂性。 您以某种方式正确地说“第7行”涉及O（E）运算，但让我们看一下这些行（很幸运，Dijkstra很容易分析）。

1. 初始化的意思是“给所有顶点一个无限的距离，除了源的距离为0。这很容易，可以在O（V）中完成。

2. S有什么用处？ 您将其“只写”使用。

3. 您将所有元素放入队列。 这是龙。 什么是（优先级！）队列？ 具有操作的数据结构，可以添加，可选地减少键（Dijkstra需要），移除（Dijkstra中不需要），extractMin。 根据实现，这些操作具有某些运行时。 例如，您可以构建一个只是（标记）集的哑PQ-然后在固定时间内添加和减少键，但是要提取最小值，则必须进行搜索。 Dijkstra中的规范解决方案是使用一个队列（如堆）来实现O（log n）中的所有相关操作。 让我们分析这种情况，尽管从技术上讲斐波那契堆会更好。 不要自己实现队列。 使用真正的PQ实现可以节省多少钱，这真是令人惊讶。

4. 您经历了n次循环。

5. 每次，您提取最小值，该最小值为O（n log n）总数（在所有迭代中）。

6. S有什么用处？

7. 您最多要遍历每个顶点的边缘一次，即，要对每个边缘进行两次韧化处理，因此总的来说，您可以完成循环O（E）次的所有操作。

8. 放松意味着检查是否必须减小键并这样做。 我们已经知道，每个这样的操作都可以在队列（如果是堆）中添加O（log V），并且我们必须执行O（E）次，因此它是O（E log V），这占了整个运行时间。

如果您使用斐波那契堆，则可以降至O（VlogV + E），但这是学术性的。 实际的实现会调整堆。 如果您想了解实现的性能，请分析PQ操作。 但是正如我所说，如果您不完全知道自己在做什么，最好使用现有的实现。 您“在调用reduceKey之前先查找职位”的想法告诉我，在提出一个有效地使每个插入项占用O（V）（每次调用一次reduceKey进行排序）或O（ V）每次提取的最小值（通过找到所需的最小值）。