Dijkstra算法的复杂度

Question

我从许多资料中获悉，如果使用天真的方法来获取min元素（线性搜索），Dijkstra的最短路径也将以O（V ^ 2）复杂度运行。 但是，如果使用优先级队列，则可以将其优化为O（VLogV），因为此数据结构将在O（1）时间返回min元素，但是在删除min元素后需要O（LogV）时间来恢复堆属性。

我在以下链接中针对UVA问题的以下代码中实现了Dijkstra的算法： https ://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=16&page=show_problem&problem =1927 ：

#include<iostream>
#include<vector>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <set>

using namespace std;

#define rep(a,b,c) for(int c=a;c<b;c++)

typedef std::vector<int> VI;
typedef std::vector<VI> VVI;

struct cmp {
    bool operator()(const pair<int,int> &a,const pair<int,int> &b) const {
        return a.second < b.second;
    }
};

void sp(VVI &graph,set<pair<int,int>,cmp> &minv,VI &ans,int S,int T) {
    int e = -1;
    minv.insert(pair<int,int>(S,0));
    rep(0,graph.size() && !minv.empty() && minv.begin()->first != T,s) {
        e = minv.begin()->first;
        minv.erase(minv.begin());
        int nb = 0;
        rep(0,graph[e].size(),d) {
            nb = d;
            if(graph[e][d] != INT_MAX && ans[e] + graph[e][d] < ans[d]) {
                set<pair<int,int>,cmp>::iterator si = minv.find(pair<int,int>(d,ans[d]));
                if(si != minv.end())
                    minv.erase(*si);
                ans[d] = ans[e] + graph[e][d];
                minv.insert(pair<int,int>(d,ans[d]));
            }
        }
    }
}

int main(void) {
    int cc = 0,N = 0,M = 0,S = -1,T = -1,A=-1,B=-1,W=-1;
    VVI graph;
    VI ans;
    set<pair<int,int>,cmp> minv;
    cin >> cc;

    rep(0,cc,i) {
        cin >> N >> M >> S >> T;
        graph.clear();
        ans.clear();
        graph.assign(N,VI());
        ans.assign(graph.size(),INT_MAX);
        minv.clear();
        rep(0,N,j) {
            graph[j].assign(N,INT_MAX);
        }
        ans[S] = 0;
        graph[S][S] = 0;
        rep(0,M,j) {
            cin >> A >> B >> W;
            graph[A][B] = min(W,graph[A][B]);
            graph[B][A] = min(W,graph[B][A]);
        }
        sp(graph,minv,ans,S,T);
        cout << "Case #" << i + 1 << ": ";
        if(ans[T] != INT_MAX)
            cout << ans[T] << endl;
        else
            cout << "unreachable" << endl;
    }
}

根据我的分析，我的算法具有O（VLogV）复杂度。 STL std :: set被实现为二进制搜索树。 此外，该集合也被排序。 因此，从中获得的最小元素为O（1），插入和删除的每个元素均为O（LogV）。 但是，我仍然可以从这个问题中获得TLE，根据给定的时间限制，该问题应该可以在O（VLogV）中解决。

这使我思考得更深。 如果所有节点都互连在一起，以使每个顶点V具有V-1邻居，该怎么办？ 因为每个顶点必须每轮都查看V-1，V-2，V-3 ...节点，这是否会使Dijkstra的算法在O（V ^ 2）中运行？

再三考虑，我可能会误解最坏情况的复杂性。 有人可以在以下问题上给我建议：

1. 鉴于上述反例，Dijkstra的算法O（VLogV）的表现如何？
2. 如何优化代码，使其达到O（VLogV）复杂度（或更高）？

编辑：

我意识到我的程序毕竟不能在O（ElogV）中运行。 瓶颈是由我在O（V ^ 2）中运行的输入处理引起的。 dijkstra部分确实在（ElogV）中运行。

Answer 1

为了了解Dijkstra算法的时间复杂度，我们需要研究在用于实现Frontier集的数据结构（即算法中用于minv的数据结构）上执行的操作：

• 插入
• 更新资料
• 查找/删除最小值

在整个算法期间，数据结构上总共发生O(|V|)插入， O(|E|)更新， O(|V|)查找/删除最小值。

• 最初，Dijkstra使用未排序的数组实现了Frontier集。 因此，对于插入和更新，它为O(1) ，但是对于查找/删除最小值，它为O(1) O(|V|) ，从而导致O(|E| + |V|^2) ，但是由于|E| < |V|^2 |E| < |V|^2 ，您有O(|V|^2) 。

• 如果使用二进制min-heap来实现Frontier集，则所有操作都具有log(|v|) ，结果为O(|E|log|V| + |V|log|V|) ，但是由于假设|E| > |V|是合理的 |E| > |V| ，您有O(|E|log|V|) 。

• 然后是Fibonacci堆，在这里您有O(1)最小插入/更新/查找时间，但有O(log|V|)最小删除时间，为您提供了当前最广为人知的O(|E| + |V|log|V|)表示Dijkstra的算法。

最后，如果(|V|log|V| < |E|)不能解决O(|V|log|V|)最坏情况下的时间复杂度的单源最短路径问题的算法，因为该问题具有O(|E| + |V|)较小下限，即您需要检查每个顶点和边至少一次以解决问题。

Answer 2

使用BST或堆来改进Dijkstra会导致时间复杂度，例如O(|E|log|V|)或O(|E|+|V|log|V|) ，请参见Dijkstra的运行时间 。 必须在某个点检查每个边缘。