從極坐標到笛卡爾坐標的方差矩陣

Question

我正在處理極坐標中的時間序列，我正在應用卡爾曼濾波器進行預測。 時間序列與衛星軌道有關。

然而，我對方差的預測和估計用極坐標[r，theta]表示。

我知道如何使用函數將我的預測轉換為笛卡爾坐標

  f(r,theta) <- [r*cos(theta),r*sin(theta)].

但我不知道如何處理方差，因為它不是線性算子。

如果您可以幫我改造，我會按順序向您提供我的數據：

     Radius                  Angle        
[1,] "39805.9613778309" "1.46134492279737"
[2,] "39805.9613778309" "1.48689546833425"
[3,] "39805.9613778309" "1.51244601387112"
[4,] "39805.9613778309" "1.537996559408"  
[5,] "39805.9613778309" "1.56354710494488"
[6,] "39805.9613778309" "1.58909765048176"

第一個預測的方差矩陣是：

        radius    theta
[1,] 5132782 0.000000000
[2,]       0 0.001646994

我想知道如何在笛卡爾坐標系中獲得第一個預測的矩陣。 謝謝！

Answer 1

這讓我感到困惑。 我想我找到了答案：上面提供的公式，

，

從最常見的錯誤傳播形式出發。 如果您可以做出一些假設，那么公式是正確的，特別是您可以線性化轉換。

請參閱https://en.wikipedia.org/wiki/Propagation_of_uncertainty#Non-linear_combinations 。 本節有一個小節，“警告和警告”，我認為值得以開放的心態接近（所以你最終沒有偏見：P）。

Answer 2

在開發雷達系統的跟蹤濾波器時，我使用了以下技術：

1）確定笛卡爾旋轉矩陣的極坐標為

  R = [cos(theta)  - sin(theta);
       sin(theta)    cos(theta)]

2）執行以下矩陣乘法以獲得笛卡爾坐標中的協方差矩陣，Pcart：

  Pcart = R*Ppol*R'

  where Ppol is the covariance matrix in polar coordinates
        R' is the transpose of R

Answer 3

實現這一目標的最佳方法是找到函數Fhat = Jacobian [f（r，theta）]的雅可比行列式。 如果球面中的方差矩陣是R（極坐標），那么P（Cart）= Fhat * R * Fhat'。 使用旋轉矩陣會給出錯誤的答案，因為它只是將笛卡爾協方差旋轉到另一個“旋轉”的笛卡爾系統中。 請參閱我的“貝葉斯估計和跟蹤：實用指南”一書中的附錄18.B，以獲得該公式的完整推導以及如何使用它。