如何使用線段樹計算數組中的反轉次數

Question

我知道這個問題可以使用修改后的歸並排序來解決，並且我已經編寫了相同的代碼。 現在我想使用Segment Tree解決這個問題。 基本上，如果我們從右到左遍歷數組，那么我們必須計算“有多少值大於當前值”。 這個東西怎么可以通過Segment Tree來實現？

我們必須在Segment Tree Node上存儲什么類型的信息？

如果可能，請提供代碼。

Answer 1

讓我用一個例子一步一步地解釋：

arr      :  4 3 7 1
position :  0 1 2 3

首先，將數組按降序排序為 {value, index} 對。

arr      :  7 4 3 1
index    :  2 0 1 3
position :  0 1 2 3

從左到右迭代，對於每個元素arr[i] -

查詢每個元素的index （查詢范圍[0, arr[i].index]以獲得左側更大的數字計數）並將查詢結果放在輸出數組的相應index上。

每次查詢后，遞增覆蓋該index的相應段樹節點。

這樣，我們確保只獲得從0到index - 1更大數字，因為到目前為止插入的值僅大於arr[i] 。

下面的 C++ 實現會更有意義。

class SegmentTree {

    vector<int> segmentNode;

public:
    void init(int n) {
        int N = /* 2 * pow(2, ceil(log((double) n / log(2.0)))) - 1 */ 4 * n;
        segmentNode.resize(N, 0);
    }

    void insert(int node, int left, int right, const int indx) {
        if(indx < left or indx > right) {
            return;
        }
        if(left == right and indx == left) {
            segmentNode[node]++;
            return;
        }
        int leftNode = node << 1;
        int rightNode = leftNode | 1;
        int mid = left + (right - left) / 2;

        insert(leftNode, left, mid, indx);
        insert(rightNode, mid + 1, right, indx);

        segmentNode[node] = segmentNode[leftNode] + segmentNode[rightNode];
    }

    int query(int node, int left, int right, const int L, const int R) {
        if(left > R or right < L) {
            return 0;
        }
        if(left >= L and right <= R) {
            return segmentNode[node];
        }

        int leftNode = node << 1;
        int rightNode = leftNode | 1;
        int mid = left + (right - left) / 2;

        return query(leftNode, left, mid, L, R) + query(rightNode, mid + 1, right, L, R);
    }

};

vector<int> countGreater(vector<int>& nums) {
    vector<int> result;
    if(nums.empty()) {
        return result;
    }
    int n = (int)nums.size();
    vector<pair<int, int> > data(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        data[i] = pair<int, int>(nums[i], i);
    }
    sort(data.begin(), data.end(), greater<pair<int, int> >());
    result.resize(n);
    SegmentTree segmentTree;
    segmentTree.init(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        result[data[i].second] = segmentTree.query(1, 0, n - 1, 0, data[i].second);
        segmentTree.insert(1, 0, n - 1, data[i].second);
    }
    return result;
}

// Input : 4 3 7 1
// output: 0 1 0 3

這很簡單，但不像其他典型的段樹問題那樣“顯而易見”。 用筆和紙模擬任意輸入會有所幫助。

還有其他O(nlogn)方法與 BST、Fenwick 樹和歸並排序。

Answer 2

解決的很簡單。 我們用運算和構造一個大小為n的空段樹。 現在從左到右遍歷排列元素。 段樹的葉子中的一個表示已經訪問了這樣的元素。 當移動到p[i]的p[i] i-th元素時，我們將請求計算段樹中[p[i],n]的總和：它只會計算左側元素的數量，這些元素是大於p[i] 。 最后，將一個放在p[i]位置。 總時間是O(nlogn) 。