求圖直徑的近似算法

Question

給定圖G =（ V，E ） ，無向且無權，我們希望找到圖G的直徑D的值。 顯示如何在運行時間O（| V | + | E |）中找到X等於D <= 2 * X的值X。

現在，要找到圖形的實際直徑，您只需要運行BFS兩次，分別從任意節點然后從最擴展的節點運行一次。 但是在這個問題上，我需要找到直徑的近似值。 我的猜測是運行一次BFS，然后選擇最大距離作為直徑。 可能發生兩種極端情況。

第一個發生在所選節點位於圖G的外圍時。 擴展節點將位於周長的另一側，因此X等於D。

第二種情況將在所選節點位於G的中心且X等於D的一半時發生（在這種情況下， X將是G的無線電）。

這是我對這個問題的回答。 但是我得到了15/25。 是否有我沒有處理過的極端情況，或者從一開始就錯了？

先感謝您。

Answer 1

60％的人似乎對以前的算法TA有點苛刻-您提供了正確的算法並確定了兩個不等式的極端情況。 不過，我同意您需要提供正式證明。 如果您的評分員特別嚴格，那么您可能還需要說一兩個字才能說明算法為何是線性時間。

這是正式證明的開始。 令d（v，w）為頂點v和w之間的路徑的最小長度。 直徑定義為D = max_ {v，w} d（v，w）。 您的算法選擇一個任意頂點s，並輸出X = max_ {w} d（s，w）。

您需要做一點代數運算以顯示兩個事實：X <= D和D <= 2X。您將需要三角形不等式d（a，b）+ d（b，c）> = d （a，c），它適用於所有頂點a，b，c，以及對稱性d（a，b）= d（b，a）。