再論二次函數的漸近緊界

Question

我想提出的總體問題已在此處接受的答案中得到了解答： 二次函數的漸近緊定界，但我想重點關注我無法理解的部分答案。

具體來說就是這部分：“因此我們可以從sqrt（...）的內部上方綁定4b ^ 2”。

我不知道假設| b | / a> = sqrt（| c | / a）如何幫助我們得出b ^ 2-3ac項的4b ^ 2邊界。 這是我得到的：

n> = 2 *（sqrt（b ^ 2-3ac）-b）/ 3a

有兩種情況（如原始受訪者所說）。 我想了解第一個：

1. | b | / a> = sqrt（| c | / a）

（正反兩面）b ^ 2 / a ^ 2> = | c | / a

（乘以a ^ 2）b ^ 2> = a ^ 2 * | c | / a

（簡化a ^ 2和a）b ^ 2> = a * | c |

（a為正，因此a | c |> = ac）b ^ 2> = ac

因此，如果我們查看原始sqrt的內部，即b ^ 2-3ac，

b ^ 2-3ac是> = -2ac

不是原始回復中指出的4b ^ 2。

有人可以幫助我了解我哪里出錯了嗎？

謝謝！

Answer 1

答案中有兩個假設：“我們有一個正的前導系數多項式”，即a>0和|b|/a >= sqrt(|c|/a) 。

這是推導（每個步驟都意味着下一個步驟）：

|b|/a >= sqrt(|c|/a)
b^2/a^2 >= |c|/a, (squaring both sides)
b^2 >= |c|*a, (multiplying by a^2, since a^2>=0)
3b^2 >= 3*a*|c| = |3*a*c|, since a>0
b^2 + 3b^2 >= b^2 + |3*a*c| == b^2 + |-3*a*c| >= b^2 - 3*a*c, since |x| + |y| >= |x+y|

您顯示的推導是不正確的。 它根本不會給您帶來讓您繼續前進的局限。