函數scipy.linalg.lu中的上三角矩陣是否總是呈行梯形形式？

Question

我有axn矩陣A，其中n> m，並且我試圖通過它的行梯形形式識別獨立的行。 函數scipy.linalg.lu返回矩陣的PLU分解，但是U因子似乎不是梯形形式，即，樞軸不是階梯形。 據我所知，U因子應始終呈階梯狀。

考慮以下示例：

from numpy import array
from scipy.linalg import lu

A = array([[1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0],
           [1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1],
           [1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0],
           [0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1],
           [1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1]])

P, L, U = lu(A)

U因子不是行梯形形式。 對於每行k，樞軸應始終位於行k-1中樞軸的右側。 看到第五行的樞軸不在第四行的樞軸的右側：

array([[ 1.,  1.,  1.,  1.,  0.,  1.,  1.,  1.,  1.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.,  1.,  1.,  0.,  1.,  0.,  0.,  1.],
       [ 0.,  0., -1., -1.,  0.,  0.,  0., -1., -1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.,  1., -1.,  0.,  0.,  1.,  1.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0.,  1.,  1.,  1.]])

Answer 1

我以前從未見過LUP分解，但我懷疑它並沒有完全按照您的想法進行。 我在Matlab中所做的分解與您在Python中所做的分解相同，並且得到的結果完全相同。 因此，我不認為Python LU函數有問題。

更新：我也用R（下面的代碼）實現了這一點，並且U矩陣給出的結果與Matlab和Python相同。 與其他不同，它給出以下警告：

Warning message:
In .local(x, ...) :
  Exact singularity detected during LU decomposition: U[i,i]=0, i=4.

Matlab：

碼：

A = ([[1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0],
           [1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1],
           [1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0],
           [0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1],
           [1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1]]);
[L,U,P] = lu(A);
U

Matlab結果：
U =

     1     1     1     1     0     1     1     1     1     0
     0     1     0     1     1     0     1     0     0     1
     0     0    -1    -1     0     0     0    -1    -1     0
     0     0     0     0     1    -1     0     0     1     1
     0     0     0     0     1     0     0     1     1     1

Python結果（來自您的代碼）：

U = 

array([[ 1.,  1.,  1.,  1.,  0.,  1.,  1.,  1.,  1.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.,  1.,  1.,  0.,  1.,  0.,  0.,  1.],
       [ 0.,  0., -1., -1.,  0.,  0.,  0., -1., -1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.,  1., -1.,  0.,  0.,  1.,  1.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0.,  1.,  1.,  1.]])

R：

碼：

library(Matrix)
A <- Matrix( c( 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0 , 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1 , 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0 , 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1 , 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ),nrow=5,ncol=10,byrow=TRUE )
expand(mylu <-lu(A))

結果：

class "dtrMatrix" (unitriangular)
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    1    .    .    .    .
[2,]    0    1    .    .    .
[3,]    1    0    1    .    .
[4,]    1    0    1    1    .
[5,]    1    0    1    0    1

$U
5 x 10 Matrix of class "dgeMatrix"
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,]    1    1    1    1    0    1    1    1    1     0
[2,]    0    1    0    1    1    0    1    0    0     1
[3,]    0    0   -1   -1    0    0    0   -1   -1     0
[4,]    0    0    0    0    1   -1    0    0    1     1
[5,]    0    0    0    0    1    0    0    1    1     1

$P
5 x 5 sparse Matrix of class "pMatrix"

[1,] | . . . .
[2,] . . . | .
[3,] . . | . .
[4,] . | . . .
[5,] . . . . |

Answer 2

不能保證LU分解將導致形成行梯形形式的U矩陣。 在這種情況下失敗的原因可能是因為矩陣是奇異的。 我強烈懷疑這是原因，因為奇異矩陣的特征之一是缺少一整套樞軸。

有關詳細信息，請參見https://en.wikipedia.org/wiki/LU_decomposition上有關“通用矩陣”的部分以及其中提供的參考。