查找長度為n的列表的k個元素，它們在O（nlogk）時間之內的總和小於t

Question

這是《 Programming Pearls》編輯的。 2，第2欄，問題8：

給定一組n個實數，一個實數t和一個整數k，您可以多快確定是否存在該集合的k個元素子集，總和最多為t？

一個簡單的解決方案是對前k個元素進行排序和求和，這是我們找到此類和的最大希望。 但是，在解決方案部分中，Bentley提到需要花費nlog（k）時間的解決方案，盡管他沒有提供有關如何找到它的提示。 我一直在為此苦苦掙扎； 我曾經想過要遍歷列表，並添加所有少於t / k的元素（以O（n）時間計）； 假設有m1 <k個這樣的元素，它們的和等於s1 <t。 然后我們剩下k-m1個元素，因此我們可以在O（n）時間內再次掃描列表，以查找所有小於（t-s1）/（k-m1）的元素。 再次相加，得到s2和m2，如果m2 <k，則再次查找小於（t-s2）/（k-m2）的所有元素。 所以：

def kSubsetSumUnderT(inList, k, t):
    outList = []
    s = 0
    m = 0
    while len(outList) < k:
        toJoin = [i for i in inList where i < (t - s)/(k - m)]
        if len(toJoin):
            if len(toJoin) >= k - m:
                toJoin.sort()
                if(s + sum(toJoin[0:(k - m - 1)]) < t:
                    return True
                return False
            outList = outList + toJoin
            s += sum(toJoin)
            m += len(toJoin)
        else:
            return False

我的直覺是，這可能是O（nlog（k））算法，但是我很難向自己證明。 思考？

Answer 1

考慮以下示例，其中t> 0和all([x>t for x in inList]) toJoin將始終為空，並且您的算法甚至無法完成，更不用說O（nlog（k））了。

您可能缺少的提示是http://en.wikipedia.org/wiki/Heap_(data_structure）

Answer 2

運行時間Theta（n log k）的自然算法可能是初始化具有k個無窮大的max-heap，然后遍歷數組，推送新元素並彈出max，最后將k留在堆中最少。 （正如Bentley提到的那樣，在Theta（n）時選擇速度漸近。在實踐中，最好的選擇方法是將最小的k次堆放並彈出，這是Theta（n + k log n）= Theta（n）當k = O（n / log n）時。）