在小於O（n）比較中找到3個最小元素的時間復雜度

Question

關於確定2種算法的時間復雜度，我有2個問題。

問題1

使用比較確定一組n個 不同數字中的最小3個數字。

1. 可以使用O（log ² n）比較來確定這3個元素。
2. O（log ² n）不夠，但可以使用n + O（1）比較來確定它們。
3. n + O（1）是不夠的，但是可以使用n + O（logn）比較來確定它們。
4. n + O（logn）不夠，但可以使用O（n）比較來確定它們。
5. 以上都不是。

在這里，我想它的方式是采取3個變量（如：分_{1，MIN 2}分_3，其中MIN ₁是最小和最小值_，3是最大的，這些3），與第1 ^個 3個元素初始化它們列表並掃描列表一次。 對於列表中的每個數字x，我們有以下4種情況：

1. 如果 x <最小₁ 那么 ，最小₃ =最小₂ ; 最小₂ =最小₁ ; 最小₁ = x;
2. 否則如果 Min ₁ <x <Min ₂ 則 Min ₃ = Min ₂ ; 最小₂ = x;
3. 否則如果 Min ₂ <x <Min ₃ 則 Min ₃ = x;
4. 否則如果 Min ₃ <x 那么 ， 什么也不做

所以，基本上它在最壞的情況下需要3n比較， 在最好的情況下需要0比較 。

如果可以以更簡單（更少時間限制）的方式完成，請糾正我。 實際上我對選項3和4感到困惑。

問題2

使用比較從一組n個 不同數字中確定最小和最大數字。

1. 這兩個元素可以使用O（log ¹⁰⁰ n）比較來確定。
2. O（log ¹⁰⁰ n）不夠，但可以使用n + O（logn）比較來確定它們。
3. N + O（logn）時間是不夠的，但是它們可以使用^3.⌈N / _2⌉比較來確定。
4. ^3.⌈n / ₂ ^個 ⌉是不夠的，但它們也可以使用2（N-1）的比較來確定。
5. 以上都不是。

像以前一樣使用類似的參數我得出了答案2（n-1） 。 雖然我仍然對選項2和4感到困惑。

Answer 1

問題1：您可以通過首先與MIN2進行比較，將算法改進為2n比較。 這仍然是O（n）。 要查看n + O（1）是不夠的，請注意有n *（n-1）*（n-2）種可能性，其中MIN1，MIN2和MIN3位於其中。 以對數為基數2得到所需比較數的下限。

問題2：這可以通過比較兩個連續元素在3 * ceil（n / 2）中完成，然后將較小值與當前最小值進行比較，將較大值與當前最大值進行比較。