是否有一種簡單的方法來反轉三角形（上部或下部）矩陣？

Question

我正在嘗試實現一些基本的線性代數運算，其中一個操作是三角形（上部和/或下部）矩陣的反演。 有一個簡單而穩定的算法嗎？

謝謝。

Answer 1

是的，使用回替代 。 反轉矩陣的標准算法是找到它的LU分解（分解成下三角形和上三角矩陣），在三角形片上使用反向替換，然后組合結果以獲得原始矩陣的逆。

Answer 2

如果可以的話，不要顛倒它。 這是數值線性代數的基本誡命之一。

將矩陣L本身保持在存儲器和計算中要快得多且數值更穩定

inv(L)b

每當你需要用inv（L）做其他事情時，用后向替換。

請注意，反轉它的慣用算法需要求解系統

 inv(L)[1 0 0 ...], inv(L)[0 1 0 ....], inv(L)[0 0 1 ....] 

等等，所以你看它根本不容易反轉它。

Answer 3

給定較低的三角矩陣L，backsubstitution允許您為任何右側b快速求解系統L x = b。

要反轉L，您可以為右側求解此系統e1 =（1,0，...，0），e2 =（0,1，...，0），...，en =（0 ，0，...，1）並將得到的解向量組合成單個（必須是低三角形）矩陣。

如果你對封閉形式的解決方案感興趣，則逆的對角線元素是原始對角線元素的反轉，當你離開對角線時，逆向元素的其余元素的公式變得越來越復雜。

Answer 4

如果您正在討論單精度實數，請查看LAPACK例程STRTRI和STRTI2的源代碼。

Answer 5

哇，這幾乎是數值分析課程的一半內容。 標准算法將做到這一點，並有一堆罐頭代碼在這里 。 這個以及大多數其他常見數值分析問題的最終來源是Numerical Recipes 。

Answer 6

作為A的B逆，三角矩陣，您可以使用以下MATLAB代碼：

n = size(A,1);
B = zeros(n);
for i=1:n
    B(i,i) = 1/A(i,i);
    for j=1:i-1
        s = 0;
        for k=j:i-1
            s = s + A(i,k)*B(k,j);
        end
        B(i,j) = -s*B(i,i);
    end
end