坐標簇與沿單位矢量i的點之間的最小距離

Question

我有一組3D坐標Q，這些坐標Q圍繞原點O，單位矢量i和長度d聚集到一個粗球形中。 令p = c * i，其中c是一個正實數。 令M表示p與Q中每個q之間的距離的集合。在M的最小閥大於d的約束下，我需要一種可靠的方法來計算c的最小值。 有沒有一種優雅的方法可以在python中使用scipy / numpy做到這一點？ 我懷疑scipy.spatial.KDTree會很有用，但目前尚不清楚如何有效地找到我的約束最小值。

Answer 1

您可以解決以下問題：

對於Q中的一個點q，定義：

C(q) = set of values of c >= 0 s.t. |q - c*i| >= d

然后定義

C = intersection { q in Q } C(q)

然后期望值c為：

c = inf C = minimum element of C

集C（q）只是二次不等式的解決方案，因此將具有以下形式之一：

1) C(q) = [0, +infinity)
2) C(q) = [0, b] union [ e, +infinity )  (for some e > b)
3) C(q) = [e, +infinity )

您可以安全地丟棄第一種形式的集合。

如果所有其余的C（q）集都具有形式＃2，則c = 0。

相反，如果它們都具有＃3形式，則c為：

c = maximum { q in Q } e(q)

否則情況會變得更加復雜。

對於給定的q，要計算C（q），請注意：

|q - c*i| >= d
  <=> (q - c*i)^2 >= d*d
  <=> (q - c*i).(q - c*i) >= d*d
  <=> q.q + c*c - 2*c*(q.i) >= d*d
  <=> c*c - c*2*(q.i) + q.q - d*d >= 0

如果此二次方程的判別式<0，則C（q）= [0，+無限大]。

否則，讓b和e為根，b <= e，並檢查以下情況：

e < 0    -->  C(q) = [0, +infinity)
b < 0    -->  C(q) = [e, +infinity)
b >= 0   -->  C(q) = [0, b]  union [e, +infinity)

2-d中的示例演示了更復雜的情況：

Q = { q1, q2, q3, q4 }
  = { (1,0), (0,1), (4,4), (0,10) }
i = (1/sqrt 5, 2/sqrt 5)
d = 2

C(q1) = [ 2.236, +infinity )
C(q2) = [ 2.843, +infinity )
C(q3) = [ 0, 4.472 ] union [ 6.261, +infinity )
C(q4) = [ 0, +infinity )

C（q1），C（q2）和C（q3）的交點的最小元素為2.843。