函數的復雜度T（N）= T（n / 2）+ 2 ^ n

Question

我是一名學生在大學學習算法課程。 我知道如何應用一些遞歸技術來找到更簡單函數的運行成本，但是這個問題中的2^n給我帶來了麻煩。 這是我嘗試應用主定理的內容

a=1 ， b=2 n^log2(1)= n^0.65

這導致n^0=1我知道它必須是f(N)多項式時間，即2^n但我不知道它是如何與2^n 。

我嘗試了遞歸樹，但它太復雜了。

Answer 1

您可以應用此處描述的主定理的第三種情況，因為f（n）等於Ω（nloga）。

Here, 
f(n) = 2^n , and
Ω(n^log 1) = Ω(1)

2^n = Ω(1) ，因為對於某些常數c> 0且所有足夠大的n，2 ^n≥c* 1。

所以T（n）= f（n）
T（n）= O（2 ^ n）

Answer 2

這很容易做到沒有主定理：

T(n) = T(n / 2) + 2^n)
     = T(n / 4) + 2^(n / 2) + 2^n
     = ...
     < 2^0 + 2^1 + ... + 2^n
     = [2^(n + 1) - 1] / (2 - 1) (sum of a geometric progression formula)

=> T(n) = O(2^(n + 1)) = O(2*2^n) = O(2^n)