用1種顏色部分着色圖形

Question

我剛剛開始閱讀圖論，並正在閱讀有關圖着色的信息。 這個問題浮現在我腦海：

我們必須僅用一種顏色為無向圖着色（不完全着色），以使有色節點的數量最大化。 我們需要找到這個最大數量。 我能夠為非循環圖制定一種方法：

我的方法：首先，我們將圖划分為孤立的組件，然后對每個組件執行此操作。 我們創建一個dfs樹，並遍歷它時制作2個dp數組，以使根最后出現：

dp[0][u]=sum(dp[1][visited children])

dp[1][u]=sum(dp[0][visited children])

ans=max(dp[1][root],dp[0][root])

dp[0][i] , dp[1][i] are initialized to 0,1 respectively.

此處0表示未着色，而1表示已着色。

但這對循環圖不起作用，因為我假設沒有訪問過的子級連接。

有人可以指導我正確解決循環圖問題的方法（不是蠻力）嗎？ 是否可以修改我的方法，還是我們需要提出其他方法？ 像為邊緣最少的節點着色這樣的貪婪方法是否可行？

Answer 1

這個問題也是NP-Hard，也稱為最大獨立集問題 。

如果對於S每兩個頂點u,v沒有邊(u,v) ，則在圖中稱集合S<=V是獨立集合 。

S的最大大小（即您要尋找的數字）稱為圖形的獨立數 ，不幸的是發現它是NP-Hard。

因此，除非P = NP，否則對於通用圖形，您的算法將失敗。

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證明它非常簡單，給定一個圖G=(V,E) ，當且僅當(u,v)創建互補圖G'=(V,E') ，其中(u,v)在E'中。不在E 。

現在，給定圖G ，有大小的集團k當且僅當有一個獨立的集大小的k在G' ，使用相同的頂點（因為如果（U，V）是兩個頂點的獨立集，有在E'沒有邊(u,v) ，並且根據定義在E有邊。對獨立集合中的所有頂點重復，則在G有一個派系。

由於派系問題是NP-Hard，因此也是如此。