用最小的顏色着色圖形

Question

我想為一個圖形着色，使得對於任何頂點v ₁和v ₂ ，如果它們之間有n條路徑：

p ₁ =（v ₁ ，p ₁₁ ，p ₁₂ ，v ₂ ）
p ₂ =（v ₁ ，p ₂₁ ，p ₂₂ ，v ₂ ）
...
p _n =（v ₁ ，p _n1 ，p _n2 ，v ₂ ）

（p ₁₁ ，p ₁₂是路徑的頂點，路徑有四個頂點）

p _i表示路徑，p _i1和p _i2是v ₁和v ₂之間的兩個頂點。

必須不存在兩條路徑p _i和p _j ，使得c（p _i1 ）= c（p _j1 ）和c（p _i2 ）= c（p _j2 ），其中c（v）表示頂點v的顏色。

簡單來說，v ₁和v ₂之間的路徑應該是可區分的。

我們的目標是盡量減少顏色數量。

是否有滿足上述條件的着色算法？ 明星着色絕對滿足條件，但它需要更多的顏色。

Answer 1

鑒於我理解你的問題，這是我的答案。 您正在嘗試找出可用於連接N 2個頂點路徑的最小顏色數。

嘗試解決相反問題：給定x顏色可以生成多少個唯一路徑。 從問題不清楚第一個和第二個頂點是否可以是相同的顏色，所以我將采取兩種可能性：

1. 允許相同的顏色（更換排列）

   給定x個顏色可以生成max x ²個排列。 所以N路徑至少需要√N顏色。

   對於顏色= RGB頂點= RR，RG，RB，GR，GG，GB，BR，BG，BB

2. 不允許相同的顏色（沒有替換的排列）

   給定x個顏色可以生成max ^x P ₂個排列。 那是x ² -x≥N。求解二次不等式會給你

   X≥（1±√（1 + 4 N））/ 2

   x =樓層（（1 +√（1 + 4 N ））/ 2）

   對於顏色= RGB頂點= RG，RB，GR，GB，BR，BG（給定7條路徑，您需要4種顏色）