C++ 數論：計算 max(y = a_i * x+ b_i) <= k 的最快方法

Question

以下問題，當必須編寫快速代碼時：我有一個包含 2 個整數 a_i 和 b_i 的列表，我必須計算方程：y = (a_i * x + b_i)，其中我只對 y 感興趣，而不對X。 所有 a_i 都是素數且彼此不同。 a_i = y / x，b_i = y % x。

y 有多種解，即使所有 a_i, b_i 對的 y 必須相同，因為 x 可以是任何整數。 因此我們有一個上限 k 並且 y <= k。 我想要盡可能高的 y（如果有解決方案）。 最大值（y）。

簡而言之：我想知道最大的整數 y（如果存在），y <= k 和給出的方程。 x >= 1。

我已經有一個理論上有效的“解決方案”，但這太慢了：

struct part {
unsigned int size, rest;
};

int solve(vector<part> &partions, int minK, int stepSize, int k) {
    int sol = 0;

    for (int i = k; i >= minK; i -= stepSize) {
        bool works = true;
        for (int j = 0; j < static_cast<int>(partions.size()); j++) {
            if ((i - partions[j].rest) % partions[j].size != 0) {
                works = false;
                break;
            }
        }
        if (works) return i;
    }



    return -1;
}

解釋：minK 是 max(a_i + b_i)，因為我認為 y = a_i *1 + b_i 是一個方程的最小可能解，並且由於所有方程的 y 都相同，所以最大值是最好的下界。

stepSize 不是 1（為了使程序更快），而是 max(a_i)，正如我所想的那樣，因為 max(a_i) 必須適合 y 並且 y = a_i * x + b_i，因此 x 是整數值，stepSize 是 a_i，而 max(a_i) 是最好的，因為這會減少循環運行的次數。

我現在使用 stepSize 嘗試從 k 到 minK 的所有 y，並測試所有對 a_i 和 b_i，如果它們滿足等式。 如果其中一個失敗，我必須繼續下去，直到找到解決方案或沒有解決方案 (-1)。

不幸的是，該算法太慢了（因為 a_i 和 b_i 可以達到 10^12），我想不出更多的優化。 我已經在互聯網上搜索了數論和算術，但找不到任何類似的東西。

你能幫我加快這段代碼的速度，或者提示我去一些處理這個問題的網站嗎？

Answer 1

您可以一次滿足一個 i，同時保留所有已經滿足的：step 是所有已經滿足的 a[i] 的 LCM（最初為 1）。 y 是滿足你已經做的所有那些的最小值。 關鍵概念是，滿足所有 i 的任何 Y 必須滿足您已經完成的所有Y=y+n*step ，因此它必須是Y=y+n*step 。 因此，對於每個 i，您可以直接計算y+n*step mod a[i] 等於 b[i] 的最小 n（如果有）並設置y=y+n*step和 step=lcm(step,a[一世]）。 如果沒有這樣的 n 或者如果新的 y 大於 k，則中止。 一旦你完成了所有的 i，你就有了最小的 y，但你想要最大的 y 小於 k，這是一個微不足道的最終調整，因為它們相差很多步。