如何在Coq中定義非空集？

Question

在完成許多教程之后，嘗試創建我的第一個Coq定義。 想知道如何定義簡單的東西，例如字母，如果定義是：

Σ是字母，如果它是一組有限的非空符號。

得到了很多：

Require Import Coq.Lists.ListSet.

Definition alphabet := set.

但是，如何指定“必須是有限的非空集”部分？

Answer 1

由於您選擇要set的alphabet ，因此根據定義它是有限的，因為set被定義為list的實例，並且歸納類型始終是有限的。

您正在使用的ListSet庫定義了emptyset因此您的第一個選擇是聲明

Definition not_empty (a: alphabet) : Prop := a <> empty_set.

或者您可以依靠這樣的事實，即您的集合是表達式上的list和模式匹配：

Definition not_empty (a: alphabet) : bool := match a with
  | nil => false
  | _ => true
end.

（您還可以通過使用False和True在Prop定義后者而不是bool 。）

編輯：亞瑟（Arthur）要求進行一些澄清（此處簡化，如果想要更精確的解釋，可以拿一本關於歸納類型的真實教科書）：

歸納類型可以居住在：

• 有限數量的元素（例如bool ），
• 無限數量的元素（例如nat ）
• 根本沒有任何元素（例如False ）。

但是，歸納類型的任何元素在構造上都是有限的。 例如，您可以通過構造有限數量的構造函數S來編寫任何自然數，但是您必須在某個時候使用O並“停止”術語的構造。 列表也是如此：您可以構建任意長列表，但是其長度始終是有限的。