scipy.odeint為二階非線性微分方程返回錯誤值

Question

我一直在嘗試求解牛頓萬有引力定律（平方反比定律）的二階非線性微分方程：

x(t)'' = -GM/(x**2)

一維衛星接近地球（在這種情況下為點質量）的運動

使用numpy.odeint和一系列一階微分方程，但是與Mathematica或簡化形式的定律（∆x =（1/2）at ^ 2）相比，該運算未得到正確的結果。

這是程序的代碼：

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint

def deriv(x, t):            #derivative function, where x[0] is x, x[1] is x' or v, and x2 = x'' or a
    x2 = -mu/(x[0]**2)
    return x[1], x2

init = 6371000, 0          #initial values for x and x'

a_t = np.linspace(0, 20, 100)   #time scale

mu = 398600000000000      #gravitational constant

x, _ = odeint(deriv, init, a_t).T

sol = np.column_stack([a_t, x])

當衛星從6371000 m（地球的平均半徑）的初始距離接近地球時，它會產生一個具有a_t和x位置值耦合的數組。 例如，人們可能希望該物體從6371000m下降到6370000m大約需要10秒才能從地面墜落1000 m（因為對1000 = 1/2（9.8）（t ^ 2）的解幾乎是10），微分方程的數學解決方案也將該值設置為略高於10s。

然而，根據odeint解和sol陣列的值接近14.4。

  t                    x
  [  1.41414141e+01,   6.37001801e+06],
  [  1.43434343e+01,   6.36998975e+06],

odeint解決方案中是否存在重大錯誤，或者我的功能/ odeint使用方面是否存在重大問題？ 謝謝！

Answer 1

（因為解到1000 = 1/2（9.8）（t ^ 2）幾乎是10），

這是正確的健全性檢查，但是您的算法有些不正確。 使用這種近似，我們得到了一個t的

>>> (1000 / (1/2 * 9.8))**0.5
14.285714285714285

而不是約10的距離，這只會給我們一個距離

>>> 1/2 * 9.8 * 10**2
490.00000000000006

預期〜14.29非常接近您觀察到的結果：

>>> sol[abs((sol[:,1] - sol[0,1]) - -1000).argmin()]
array([  1.42705427e+01,   6.37000001e+06])