使用Python查找線性方程組的整數解

Question

我正在嘗試編寫一個python程序來解決形式為x_1 + 2x_2 + ... + Tx_T = a x_0 + x_1 + ... + x_T = b的多項式的所有正整數解。

例如，通過蠻力，我可以證明服從x_0 + x_1 + x_2 = 2 x_1 + 2x_2 = 4的唯一正整數解是(0,0,2) 。 但是，我希望有一個程序可以單獨執行此操作。

有什么建議么？

Answer 1

您可以使用Numpy線性代數求解方程組，即線性矩陣方程的最小二乘解。 對於您的情況，可以考慮以下向量：

import numpy as np
# range(T): coefficients of the first equation
# np.ones(T): only 'ones' as the coefficients of the second equation 
A = np.array([range(T), np.ones(T)) # Coefficient matrix
B = np.array([a, b]) # Ordinate or “dependent variable” values

然后找到解決方案，如下所示：

x = np.linalg.lstsq(A, B)[0]

最后，您可以實現一個傳遞變量T, ab的solve方法：

import numpy as np
def solve(T, a, b):
    A = np.array([range(T), np.ones(T)])
    B = np.array([a, b])
    return np.linalg.lstsq(A, B)[0]

整數解：如果只需要整數解，那么您正在尋找一個線性雙色子方程組。

每個線性Diophantine方程系統都可以寫成： AX = C ，其中A是一個m×n的整數矩陣， X是一個n×1的未知數列矩陣， C是一個m×1的整數列矩陣。

每個線性雙色子方程組都可以通過計算其矩陣的Smith正規形式來求解。