伊莎貝爾（Isabelle）：linord證明

Question

我嘗試為自定義數據類型創建自定義線性順序失敗，以下是我的代碼：

theory Scratch
imports Main 
begin

  datatype st  = Str "string"

  fun solf_str_int:: "string ⇒ int" where
    "solf_str_int str = (if (size str) > 0
                       then int(nat_of_char (hd str) + 1) + 100 *     (solf_str_int (tl str))
                       else 0)"

  fun soflord:: "st ⇒ st ⇒ bool" where
    "soflord s1 s2 = (case s1 of Str ss1 ⇒ (case s2 of Str ss2 ⇒ 
                        (solf_str_int ss1) ≤ (solf_str_int ss2)))"

instantiation st :: linorder
begin
  definition nleq: "less_eq n1 n2 == soflord n1 n2"  
  definition neq: "eq n1 n2 == (n1 ≤ n2) ∧ (n2 ≤ n1)"
  definition nle:  "less n1 n2 == (n1 ≤ n2) ∧ (¬(n1 = n2))" (* ++ *)

  instance proof
    fix n1 n2 x y :: st
    show "n1 ≤ n1" by (simp add:nleq split:st.split)
    show "(n1 ≤ n2) ∨ (n2 ≤ n1)" by (simp add:nleq split:st.split)     (*why is 'by ()' highlited?*)
    (*this fail if I comment line ++ out*)
    show "(x < y) = (x ≤ y ∧ (¬ (y ≤ x)))" by (simp add:nleq neq split:node.split)

  qed
end
end

標有（* ++ *）的定義不正確，如果刪除該定義，則最后一個顯示會出現問題。

我該如何糾正證明？ 為什么倒數第二個節目部分突出？

Answer 1

當定義一個類型的類（的操作less_eq和less在的情況下linorder ），只能用於過載操作的名稱，如果推斷出的類型的動作的恰好正在定義重載實例相匹配。 特別是，如果類型過於通用，則該類型不是專用的。

less_eq的定義有效，因為soflord將n1和n2的類型限制為st ，因此less_eq與st => st => bool類型less_eq使用，這正是此處所需要的。 less ，類型推斷就計算出最通用的類​​型'b :: ord => 'b => bool 。 由於這不是st => st => bool的預期類型，因此Isabelle無法將該定義識別為重載操作的定義，因此抱怨您想完全重新定義一個現有操作。 如果根據需要限制類型，則定義將按預期工作。

definition nle:  "less n1 (n2 :: st) == (n1 ≤ n2) ∧ (¬(n1 = n2))"

但是，您的定義未在st上定義線性順序。 問題是違反了反對稱性。 例如，兩個字符串Str ''d''和Str [Char Nibble0 Nibble0, Char Nibble0 Nibble0] （即，在代碼點0處由兩個字符組成的字符串）在您的順序中是“等效的”，盡管它們是不同的值。 您也嘗試在st上定義相等性，但是在高階邏輯中，無法定義相等性。 這取決於您構造類型的方式。 如果您確實想根據您的訂單標識等效的字符串，則必須首先構造一個商，例如，使用商包。

by(simp ...)的紫色突出顯示表示證明方法simp仍在運行。 在您的情況下，它不會終止，因為simp會不斷展開solf_str_int的定義式：它的右側包含左側的一個實例。 我建議您通過=左側的模式匹配來定義函數。 然后，僅在方程式可以使用某種模式時才使用它們。 因此，您必須自己觸發區分大小寫（例如，使用cases ），但是您還可以更好地控制自動化策略。