用迭代參數求解微分方程

Question

我正在學習使用 (scipy.integrate.odeint) 和 (scipy.integrate.ode) 來求解微分方程。 我有一個簡單的例子：

dy/dt=f[i]*t

f為t[i]對應的參數，同代碼示例； IE

t[0]=0.0, f[0]=0.0

t[1]=0.1, f[1]=0.1

...

t[10]=1.0, f[1]=1.0

手動結果應該是：

y=1/2*f[i]*t**2 ，因為y的初始值為零

那么，y 的數值結果應該是[0.0, 0.0005, 0.004, 0.0135, 0.032, 0.0625, 0.108, 0.1715, 0.256, 0.3645, 0.5] 。 但是當我使用 scipy.integrate.ode 時，我得到了不同的結果。 我的問題是： 1. 我用錯了嗎？ 我怎樣才能減少錯誤？ 2.我可以使用odeint或其他方法來解決這個問題嗎？

代碼是這樣的：

import matplotlib.pyplot as pl
import numpy as np
import sympy as sp
from scipy.integrate import odeint
from scipy.integrate import ode
import numpy as np

def func(t, y, f):
    return f*t

t=np.linspace(0.0, 1.0, 11)
f=np.linspace(0.0, 1.0, 11)
dt = t[1]-t[0]

sol= np.empty_like(t)
r = ode(func).set_integrator("dopri5")
r.set_initial_value(0, 0).set_f_params(f[0])

# result of ode
for i in xrange(len(t)):
    r.set_f_params(f[i])
    r.integrate(r.t+dt)
    sol[i] = r.y

res=[]
# result of t**3/3
for a in np.linspace(0.0, 1, 11):
    f=(a**3)/3
    print f
    res.append(f)

# result3
res2=[]
for n in range(0, 11):
    dt=0.1
    y= t[n]**3/3 - dt*t[n]**2/4 - dt**2*t[n]/12
    res2.append(y)

pl.plot(sol)
pl.plot(res)  
pl.plot(res2)
pl.show()

我已將此示例擴展到二維微分方程：

du/dt=-u(vf[i])

dv/dt=v(f[i]-u)

初始值：u(0)=v(0)=1。 下面是代碼：

import matplotlib.pyplot as pl
import numpy as np
import sympy as sp
from scipy.integrate import odeint
from scipy.integrate import ode
from numpy import array

def func(t, y, f):
    u,v=y
    dotu=-u*(v-f)
    dotv=v*(f-u)
    return array([dotu, dotv])

t=np.linspace(0.0, 10, 11)
f=np.linspace(0.0, 20, 11)

dt = t[1]-t[0]

# result correct
y0=array([1.0, 1.0])
sol= np.empty([11, 2])

sol[0] = array([1.0, 1.0])
r = ode(func).set_integrator("dopri5")
r.set_initial_value(t[0], sol[0]).set_f_params(f[0])

for i in range(len(t)-1):
    r.set_f_params(f[i])
    r.integrate(r.t+dt)
    sol[i+1] = r.y

pl.plot(sol[:,0])

但我收到一條錯誤消息：

Traceback (most recent call last): File "C:\\Users\\odeint test.py", line 26, in <module> sol[0] = array([1.0, 1.0]) ValueError: setting an array element with a sequence.

Answer 1

你正在做的更接近於整合 y'(t)=t^2, y(0)=0，導致 y(t)=t^3/3。 您將 t^2 分解為 f*t 並將 f 轉換為 t 的階躍函數版本只會增加一個小的擾動。

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t[i]*t在t[i]..t[i+1]上的積分是

y[i+1]-y[i] = t[i]/2*(t[i+1]^2-t[i]^2) 
= (t[i+1]^3-t[i]^3)/3 - (t[i+1]-t[i])^2*(t[i]+2t[i+1])/6
= (t[i+1]^3-t[i]^3)/3 - dt*(t[i+1]^2-t[i]^2)/4 - dt^2*(t[i+1]-t[i])/12

總結起來大約

y[n] = t[n]^3/3 - dt*t[n]^2/4 - dt^2*t[n]/12

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如何獲得正確的解決方案

sol= np.empty_like(t)

設置初始值

sol[0] = 0
r = ode(func).set_integrator("dopri5")

使用初始點作為初始點，兩者都明確表示索引0處的點是固定的並且“用完”

r.set_initial_value(sol[0],t[0]).set_f_params(f[0])

# result of ode

從t[i]點到t[i+1] 。 以i+1=len(t)或i=len(t)-1結尾

for i in xrange(len(t)-1):
    r.set_f_params(f[i])
    r.integrate(r.t+dt)

t[i]+dt處的值是t[i+1]

    sol[i+1] = r.y

通過這些更改，數值解與手動計算的解一致。