在Coq /直覺邏輯中，這種關系是否可以證明？

Question

以下定理在Coq中可證明嗎？ 如果沒有，有沒有辦法證明它不可證明？

Theorem not_for_all_is_exists:
    forall (X : Set) (P : X -> Prop), ~(forall x : X, ~ P x) -> (exists x: X, P x).

我知道這種相關關系是真的：

Theorem forall_is_not_exists : (forall (X : Set) (P : X -> Prop), (forall x, ~(P x)) -> ~(exists x, P x)).
Proof.
  (* This could probably be shortened, but I'm just starting out. *)
  intros X P.
  intros forall_x_not_Px.
  unfold not.
  intros exists_x_Px.
  destruct exists_x_Px as [ witness proof_of_Pwitness].
  pose (not_Pwitness := forall_x_not_Px witness).
  unfold not in not_Pwitness.
  pose (proof_of_False := not_Pwitness proof_of_Pwitness).
  case proof_of_False.
Qed.

但我不確定如果沒有雙重否定消除可以幫助我。 我也用不同的方法來證明有問題的定理，但無濟於事。 我只是在學習Coq，所以我可能只是遺漏了一些明顯的東西。

NB我很清楚在經典邏輯中這是正確的，所以我不是在尋找一個能夠為底層系統增加額外公理的證明。

Answer 1

這是不可證明的，因為它相當於雙重否定消除（和其他經典公理）。

我的Coq技能目前非常生疏，但我可以很快地說明為什么你的定理意味着雙重否定消除。

在你的定理中，將X實例化為unit ，將P實例化為fun _ => X以獲得任意X : Prop 。 現在我們有~(unit -> ~ X) -> exists (u : unit), X 。 但由於瑣碎的unit ，這相當於~ ~ X -> X 。

向后的含義可以通過直接應用雙重否定消除來證明~ ~ (exists x, P x) 。

我的Agda要好得多，所以我至少可以在那里顯示證據（不知道這是否有用，但它可能會稍微支持我的說法）：

open import Relation.Nullary
open import Data.Product
open import Data.Unit
open import Data.Empty
open import Function

∀∃ : Set _
∀∃ = (A : Set)(P : A → Set) → ¬ (∀ x → ¬ P x) → ∃ P

Dneg : Set _
Dneg = (A : Set) → ¬ ¬ A → A

to : ∀∃ → Dneg
to ∀∃ A ¬¬A = proj₂ (∀∃ ⊤ (const A) (λ f → ¬¬A (f tt)))

fro : Dneg → ∀∃
fro dneg A P f = dneg (∃ P) (f ∘ curry)

Answer 2

你的not_for_all_is_exists命題在Coq中是不可證明的。 我建議閱讀Dirk Van Dalen的“邏輯與結構”第5章的開頭部分，以獲得更深入的解釋。

在直覺邏輯（以及諸如Coq的系統）中，為了證明exists x, P x你必須提供一種方法（或算法）來構造實際的x ，使得P x成立。

假設not (forall x, not (P x))大致有解釋“如果我假設P不適用於所有x，那么我會得到一個矛盾”，但這比你想要的結論弱，建立一個模型將揭示該假設不包含足夠的信息來挑選P的證人。

但是，必須說這個原則在Coq中適用於P和X受限類，一個特定的例子是當P是可判定謂詞而X是有限類型時。