如何證明所有人n：nat，〜n

Question

我已經困惑了幾個小時，我不知道該怎么證明

forall n:nat, ~n<n

在Coq。 我真的需要你的幫助。 有什么建議么？

Answer 1

這個引理在標准庫中：

Require Import Arith.
Lemma not_lt_refl : forall n:nat, ~n<n.
Print Hint.

結果是lt_irrefl 。 一種更直接的實現方法是

info auto with arith.

這證明了目標並顯示了如何：

intro n; simple apply lt_irrefl.

由於您知道在哪里可以找到證明，因此，我僅會提示您如何從第一原理開始進行證明（我想這是您家庭作業的重點）。

首先，您需要證明一個否定。 這幾乎意味着您將n<n作為假設，並證明您可以推斷出一個矛盾。 然后，對n<n進行推理，將其擴展為其定義。

intros h H.
red in H.   (* or `unfold lt in H` *)

現在您需要證明S n <= n不會發生。 為此，從第一原理開始，您有兩種選擇：可以嘗試對n進行歸納，也可以嘗試對<=進行歸納。 <=謂詞是通過歸納定義的，通常在這些情況下，您需要對其進行歸納-即，通過對您的假設的證明進行歸納推理。 但是，在這里，您最終需要推理n ，以表明n不能是S n ^第 m ^個后繼，並且可以立即開始對n歸納。

在induction n ，您需要證明基本情況：假設1 <= 0 ，並且需要證明這是不可能的（目標是False ）。 通常，要將歸納假設分解為個案，您可以使用induction策略或其變體之一。 該策略根據該假設構建了一個相當復雜的相關案例分析。 了解發生什么情況的一種方法是調用simple inversion ，這給您留下了兩個子目標：假設1 <= 0的證明使用le_n構造函數（需要1 = 0 ，或者證明使用le_S構造函數，這要求S m = 0 。 在這兩種情況下，要求顯然都與S的定義矛盾，因此戰術discriminate證明了這一目標。 除了使用simple inversion H ，您還可以使用inversion H ，在這種特殊情況下，它可以直接證明目標（不可能的假設情況非常普遍，並已融入成熟的inversion策略中）。

現在，我們轉到歸納情況，在這里我們很快要從S (S n) <= S n證明S n <= n S (S n) <= S n 。 我建議您將其聲明為一個單獨的引理（首先要證明），可以將其概括為： forall nm, S n <= S m -> n <= m 。

Answer 2

Require Import Arith.
auto with arith.