如何計算R中的多元正態分布函數

Question

這是我嘗試的，使用mvtnorm包

樣本數據集

library(mvtnorm)

set.seed(2357)
df <- data.frame(
  x = rnorm(1000, mean=80, sd=20),
  y = rnorm(1000, mean=0, sd=5),
  z = rnorm(1000, mean=0, sd=5)
)

head(df)
      x      y       z
1 70.38  1.307  0.2005
2 59.76  5.781 -3.5095
3 54.14 -1.313 -1.9022
4 79.91  7.754 -6.2076
5 87.07  1.389  1.1065
6 75.89  1.684  6.2979

擬合多元正常dist並檢查P（x <= 80）~0.5

# Get the dimension means and correlation matrix
means <- c(x=mean(df$x), y=mean(df$y), z=mean(df$z))
corr <- cor(df)

# Check P(x <= 80)
sum(df$x <= 80)/nrow(df)  # 0.498
pmvnorm(lower=-Inf, upper=c(80, Inf, Inf), mean=means, corr=corr)  # 0.8232

為什么擬合結果為0.82？ 我哪里做錯了？

Answer 1

首先，您不需要模擬任何東西來研究pmvnorm函數：

pmvnorm(lower=rep(-Inf, 3), upper=c(80, Inf, Inf), mean=c(80,0,0), corr=diag(rep(1,3)))

結果是0.5 ，如您所料。

你的均值向量約為(79, 0, 0) ，所以讓我們試試吧：

pmvnorm(lower=rep(-Inf, 3), upper=c(80, Inf, Inf), mean=c(79,0,0), corr=diag(rep(1,3)))

結果現在是0.8413447 。 沒有任何問題。 通過僅指定相關矩陣，您告訴軟件假設所有方差都是一致的。 在模擬中，方差分別為400,25和25：與您在參數中指定的方差非常不同！

正確的計算使用數據的協方差矩陣，而不是其相關矩陣：

pmvnorm(lower=rep(-Inf, 3), upper=c(80, Inf, Inf), mean=means, sigma=cov(df))

結果是0.5178412 ，與數據保持一致。