如何利用這個循環中的置換對稱性？

Question

我有一個標量函數f(a,b,c,d) ，它具有以下排列對稱性

f(a,b,c,d) = f(c,d,a,b) = -f(b,a,d,c) = -f(d,c,b,a)

我用它來完全填充4D陣列。 下面的代碼（使用python / NumPy）有效：

A = np.zeros((N,N,N,N))
for a in range(N):
    for b in range(N):
        for c in range(N):
            for d in range(N):
                A[a,b,c,d] = f(a,b,c,d)

但顯然我想利用對稱性來減少這部分代碼的執行時間。 我試過了：

A = np.zeros((N,N,N,N))
ab = 0
for a in range(N):
    for b in range(N):
        ab += 1
        cd  = 0
        for c in range(N):
            for d in range(N):
                cd += 1
                if ab >= cd:
                    A[a,b,c,d] = A[c,d,a,b] = f(a,b,c,d)

這將執行時間縮短了一半。 但是為了最后的對稱，我嘗試了：

A = np.zeros((N,N,N,N))
ab = 0
for a in range(N):
    for b in range(N):
        ab += 1
        cd  = 0
        for c in range(N):
            for d in range(N):
                cd += 1
                if ab >= cd:
                    if ((a >= b) or (c >= d)):
                        A[a,b,c,d] = A[c,d,a,b] = f(a,b,c,d)
                        A[b,a,d,c] = A[d,c,b,a] = -A[a,b,c,d]

哪個有效，但不會讓我接近另外兩個加速的因素。 我不認為這是正確的理由，但不明白為什么。

我怎樣才能更好地利用這種特定的排列對稱？

Answer 1

有趣的問題！

對於N=3 ，應該有81個具有4個元素的組合。 使用循環，您可以創建156。

看起來重復的主要來源是or在(a >= b) or (c >= d) ，它太寬容了。 (a >= b) and (c >= d)限制性太強。

但是你可以比較a + c >= b + d 。 要獲得幾毫秒（如果有的話），你可以在第三個循環中保存a + c作為ac ：

A = np.zeros((N,N,N,N))
ab = 0
for a in range(N):
    for b in range(N):
        ab += 1
        cd  = 0
        for c in range(N):
            ac = a + c
            for d in range(N):
                cd += 1
                if (ab >= cd and ac >= b+d):
                    A[a,b,c,d] = A[c,d,a,b] = f(a,b,c,d)
                    A[b,a,d,c] = A[d,c,b,a] = -A[a,b,c,d]

使用此代碼，我們創建了112個組合，因此與您的方法相比，重復次數更少，但可能仍會有一些優化。

更新

這是我用來計算創建組合數的代碼：

from itertools import product

N = 3
ab = 0

all_combinations = set(product(range(N), repeat=4))
zeroes = ((x, x, y, y) for x, y in product(range(N), repeat=2))
calculated = list()

for a in range(N):
    for b in range(N):
        ab += 1
        cd = 0
        for c in range(N):
            ac = a + c
            for d in range(N):
                cd += 1
                if (ab >= cd and ac >= b + d) and not (a == b and c == d):
                    calculated.append((a, b, c, d))
                    calculated.append((c, d, a, b))
                    calculated.append((b, a, d, c))
                    calculated.append((d, c, b, a))

missing = all_combinations - set(calculated) - set(zeroes)

if missing:
    print "Some sets weren't calculated :"
    for s in missing:
        print s
else:
    print "All cases were covered"
    print len(calculated)

有and not (a==b and c==d) ，數字下降到88。